https://www.youtube.com/watch?v=XzO2Dsvz5AI
FATORIAL
Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo
até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!.
Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lêse
5 fatorial.
5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual
a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a 3 . 2 . 1 que é
igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.
Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.
Abaixo, no final da página, temos uma tabela com os 28 primeiros
fatoriais. Repare que apesar do número 27 ser relativamente baixo, o
seu fatorial possui 41 dígitos!
Escrevendo um fatorial a partir de um outro fatorial menor
Vimos que 5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1, mas note que também
podemos escrevê-lo de outras formas, em função de fatoriais
menores, tais como 4!, 3! e 2!:
1. 5! = 5 . 4!
2. 5! = 5 . 4 . 3!
3. 5! = 5 . 4 . 3 . 2!
Para um fatorial genérico temos:
n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = n . (n - 1) . (n -
2) . (n - 3) . ... . 1!
Observe atentamente os exemplos seguintes:
1. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!
2. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!
3. (n + 1)! = (n + 1) . n!
Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para termos uma visão mais
clara destas sentenças:
1. 9! = 9 . 8!
2. 9! = 9 . 8 . 7!
3. 7! = 7 . 6!
Estes conceitos são utilizados em muitos dos problemas envolvendo fatoriais.
Simplificação envolvendo fatoriais
Observe a fração abaixo:
Vimos que 5! é equivalente a 5! = 5 . 4 . 3!. Então podemos
escrever a fração da seguinte forma:
Agora podemos simplificar o 3! do numerador com o 3! do
denominador. Temos então:
Veja outros exemplos:
Gerando uma sequência de números compostos consecutivos
a partir de um fatorial
Na página onde falamos sobre múltiplos de um número natural foi
explicado que se a um número que é múltiplo de n, somarmos n ou
qualquer um dos seus múltiplos, iremos obter como resultado um
número que também é múltiplo de n.
3! + 2 = 3 . 2 . 1 + 2 = 6 + 2 = 8
3! + 3 = 3 . 2 . 1 + 3 = 6 + 3 = 9
Repare que 8, resultado da soma de 6 com 2, é divisível por 2, assim
como 6. O mesmo ocorrendo com 9, resultado da soma de 6 com 3,
que também é divisível por 3.
Como 8 e 9 são múltiplos de algum fator de 3!, temos que eles
formam uma sequência de dois números compostos (não primos)
consecutivos a partir do fatorial de três.
3! possui três fatores, mas só podemos considerar os fatores maiores
que 1, por isto só pudemos somar dois e três. Note neste exemplo,
que se somássemos 3! + 1, iríamos obter 7, que não é um número
composto. Sete é um número primo.
Exemplos de problemas envolvendo fatoriais
Qual deve ser o valor numérico de n para que a equação (n + 2)!
= 20 . n! seja verdadeira?
O primeiro passo na resolução deste problema consiste em
escrevermos (n + 2)! em função de n!, em busca de uma equação
que não mais contenha fatoriais:
Conforme explicado na página onde tratamos sobre o cálculo rápido
das raízes de equações do segundo grau, podemos resolver
rapidamente esta equação respondendo à seguinte pergunta: Quais
são os dois números cuja soma é igual a -3 e cujo produto é
igual -18?
Rapidamente concluímos que as raízes procuradas são -6 e 3, mas
como não existe fatorial de números negativos, já que eles não
pertencem ao conjunto dos números naturais, ficamos apenas com a
raiz igual a 3.
Portanto:
O valor numérico de n para que a equação seja verdadeira é igual a 3.
A partir de fatoriais, obtenha uma sequência com sete números
compostos consecutivos.
Como eu devo obter 7 números compostos consecutivos na
sequência, eu preciso partir ao menos de 8!:
8! = 8 . 7 . 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320
Como 8! é igual a 40320, o primeiro número da sequência
será 40320 + 2 = 40322 e o último será 40320 + 8 = 40328.
Logo:
A sequência 40322, 40323, 40324, 40325, 40326, 40327 e 40328
satisfaz as condições do enunciado.
Nenhum comentário:
Postar um comentário