Curso completo de Raciocínio Lógico Probabilidade Aula 03

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO
Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da
palavra CURIÓ?
Como já vimos, a permutação simples de n elementos distintos é
dada por Pn, então como na palavra CURIÓ temos 5 letras distintas,
o número de anagramas seria igual a P5, ou seja, será igual a 5! que
é igual a 120.
Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da
palavra ARARA?
Note que embora esta palavra também tenha cinco letras, agora
temos apenas duas letras distintas. A letra A que ocorre 3 vezes e a
letra R que ocorre 2 vezes. Como devemos proceder nesta situação?
Vimos no caso da palavra CURIÓ, que a permutação de cinco letras
distintas resulta em 120 possibilidades.
Como na palavra ARARA a letra A ocorre três vezes, a permutação
destas três letras A é P3 = 3! = 6, ou seja, se
dividirmos 120 por 6 iremos obter 20 que é o número de
permutações, já desconsiderando-se as permutações entre as três
letras A.
O mesmo iremos fazer em relação à letra R, só que neste caso o
número de permutações desta letra éP2 = 2! = 2, isto é, dividindose
20 por 2 temos como resultado 10, que é o número total de
permutações das letras da palavra ARARA, sem considerarmos as
permutações das letras A entre si, e das letras R também entre elas
mesmas.
Permutação com Elementos Repetidos
A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número
de elementos, onde ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal
que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança
de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação
com elementos repetidos.
Fórmula da Permutação com Elementos Repetidos
Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro
elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total
de permutações que podemos obter é dada por:
A resolução do exemplo com o uso da fórmula é:
Exemplos
Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da
palavra PARAR?
Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são
repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos
calcular P5
(2, 2):
Portanto:
O número de anagramas que podemos formar a partir das
letras da palavra PARAR é igual 30.
Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e
1 bola verde. Pretendo colocá-las em um tubo acrílico
translúcido e incolor, onde elas ficarão umas sobre as outras
na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar
esta coluna de bolas?
Neste caso de permutação com elementos repetidos temos um total
de 10 bolas de quatro cores diferentes. Segundo a repetição das
cores, devemos calcular P10
(4, 3, 2):
Então:
Eu poderei formar esta coluna de bolas de 12600 maneiras
diferentes.
Dos números distintos que são formados com todos os
algarismos do número 333669, quantos desses são ímpares?
Neste exemplo, número ímpares serão aqueles terminados
em 3 ou 9.
No caso dos números terminados em 3 devemos calcular P5
(2, 2), pois
um dos dígitos três será utilizado na última posição e dos 5 dígitos
restantes, teremos 2 ocorrências do próprio
algarismo 3 e 2 ocorrências do 6:
Agora no caso dos números terminados em 9 devemos calcular P5
(3,
2), pois o dígito 9 será utilizado na última posição e dos 5 dígitos que
sobram, teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências do dígito 6:
Como temos 30 números terminados em 3 e mais 10 terminados
em 9, então no total temos 40 números ímpares.
Logo:
Dos números formados, 40 deles são ímpares.