JUROS SIMPLES
I- CONCEITOS BÁSICOS
-Capital (C)– quantidade de dinheiro que será transacionada
-Juro (J)– remuneração pelo uso do capital
-Taxa de Juros (i)– relação entre os juros pagos e o capital num
intervalo de tempo chamado período
-Montante (M) – soma do capital com os juros no final do prazo
-Fluxo de Caixa– relação de entradas e saídas de dinheiro
- Regimes de Capitalização
Sistema de Capitalização Simples ou Juros Simples; o juro de
qualquer período é constante pois é sempre calculadosobre o
capital inicial.
Sistema de Capitalização Composta ou Juros Compostos; o
juro de cada período é calculado sobre o capital inicial mais os
juros acumulados até o período anterior.
Na resolução dos problemas é importante que a
PERIODICIDADE DA TAXA DE JUROS e o PRAZO de aplicação estejam expressos na mesma unidade de tempo.
II- JURO SIMPLES
O juros será simples quando incidir apenas sobre o valor do capital
inicial. Nos períodos subsequentes, os juros não serão acrescidos
de novos juros.Capital inicial ou valor principal é o valor
inicialmente considerado na transação, antes de somarmos os
juros. Suas fórmulas são:
J = C . i . t
M = C + J
M = C + C.i.t
Observe que no lado direito do sinal de igual há um fator comum, a
variável C, que pode ser colocada em evidência, ficando a fórmula
com o seguinte aspecto:
M = C ( 1 + it)
O fator (1 + it) é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE
CAPITAL para juros simples.
Para calcular o montante a juros simples, basta multiplicar o capital
C pelo fator de acumulação de capital (1 + it).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS SIMPLES
01. Calcular o montante produzido por um capital de R$ 10.ooo,00
aplicado a uma taxa de juros de 4% a.a, pelo prazo de 1,5 anos.
dados:
M = ?
C = 10000
i = 4% a.a. = 0,04 a.a.
t (prazo) = 1,5 anos
lembrando:
J = C.i.t
M = C + J
No exemplo apresentado, a unidade de tempo adotada para medir a
periodicidade da taxa de juros é igual a do prazo . Então podemos
escrever diretamente que t = 1,5.
J = C. i. t
J = 10000 . 0,04 . 1,5
J = 600
M = C + J
M = 10000 + 600
M = R$ 10.600,00
Poderíamos calcular o montante diretamente utilizando a fórmula:
M = C (1 + it). O resultado é o mesmo:
M = 10000 (1 + 0,04 . 1,5)
M = 6000 . 1,06
M = R$ 10.600,00
02. Calcular o montante produzido por um capital de R$ 10.000,00
durante 3 anos, considerando o regime de juros simples, a uma taxa
de 5% a.t.
Dados:
M =?
C = 10000
t = 3 anos
i = 5% a.t.
Observe que o prazo é anual e a taxa é trimestral. Para que possamos calcular os juros é necessário que adotemos a mesma unidade de tempo para a taxa de juros e para o prazo. Iremos converter a taxa, de trimestral para anual.
t = 3 anos
i = 5% a.t. = 20% a.a. ( 1 ano tem 4 trimestres e, portanto, 5% . 4 =
20% a.a.) = 0,20 a.a. lembrando:
M = C + J
J = C.i.t
M = C + C.i.t
substituindo os dados:
M = C + C.i.t
M = 10000 + 10000.0,20.3
M = 10000 + 6000
M = R$ 16.000,00
Taxas Proporcionais
Ao transformarmos, na resolução do exercício 2, a taxa de 5% a.t.
para 20% a.a., utilizamos o conceito de TAXAS DE JUROS
PROPORCIONAIS. Naquele contexto (regime de juros simples),
raciocinamos que 5% em um trimestre era a mesma coisa que 20%
em quatro trimestres. Observe que:
20%/4 trimestres = 5%/1 trimestre
Assim, duas taxas i1e i2, com os respectivos períodos n1e n2 medidos na mesma unidade de tempo, são ditas proporcionais quando obedecerem à seguinte relação:
i1/n1= i2/n2
Outros exemplos:
2% a.a. é proporcional a 1% a.m., pois 12%/12m = 1%/1m
10% a.s. é proporcional a 20% a.a., pois 10%/1s = 20%/2s
6% a.t. é proporcional a 2% a.m.,pois 6%/3m = 2%/1m
36% a.a. é proporcional a 9% a.t., pois 36%/4t = 9%/1t
03- Uma dívida, no valor de 1.000, vencida em 01/02/12, será paga em 10/03/12, no sistema de capitalização simples, a uma taxa de juros comercial (1 ano = 360 dias e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro) de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros pagos:
dados:
J = ?
i = 36% a.a. = 0,1% a.d.= 0,001 a.d.
t = número de dias entre 01/02/12 e 10/03/12 = 40 dias ( 30 dias de
janeiro + 10 dias de fevereiro, uma vez que o ano é o comercial)
C = 1.000
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo:
J = C.i.t
J = 1.000 . 0,001.40
J = R$ 40,00
OBSERVAÇÃO:
Para o cálculo dos juros existem três convenções utilizadas na
matemática financeira. O examinador deverá dizer qual delas
devemos utilizar. As convenções são: juro exato, juro comercial (ou ordinário) e juro bancário.
JURO EXATO
A contagem do número de dias (n) se faz utilizando oano civil
(aquele que é representado no calendário).
Portanto, dada uma taxa anual (ianual), os juros (J) produzidos por
um capital (C), durante n dias, serão dados por:
J = C . ianual. n/365
n = número de dias contados no calendário do ano civil.
Atenção:
. O número de dias (n) deve ser contado no calendário, portanto
você deve saber o número exato de dias de cada mês do calendário;
. Caso o ano seja bissexto , a divisão na expressãoacima será feita
por 366 e não por 365, já que o ano bissexto tem um dia a mais.
Aplicando juro exato ao exercício 03, os juros seriam:
J = 1000 . 0,36 . 41/366
J = 40,33
No denominador da expressão acima utilizamos o valor 366 porque
2012 é ano bissexto. O número n de dias entre 01/02/12 e 10/03/12
contados segundo o calendário civil é de 41 (31 dias de janeiro e 10 dias de fevereiro).
JURO COMERCIAL
A contagem do número de dias se faz utilizando o anocomercial (1
ano = 360 e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro).
Para o caso de juro comercial:
J = C . ianual. n/360
n = n
o de dias contados no calendário do ano comercial.
Aplicando ao nosso problema:
J = 1000 . 0,36 . 40/360
J = R$ 40,00
JURO BANCÁRIO
A contagem do número de dias (n) se faz pelo calendário ano civil,
mas o juro diário é calculado utilizando o ano comercial.
Para o caso do juro bancário:
J = C . ianual . n/360
n = n
o de dias contados no calendário do ano civil.
Aplicando ao problema 03, temos:
J = 1.000 . 0,36 . 41/360
J = R$ 41,00
CONCLUSÃO:
O juro bancário é o maior.
04- Qual o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 12% a.a., durante 4 meses, resultou em um montante de R$ 2.512,00?
dados:
C = ?
i = 12% a.a. = 1% a.m. = 0,01 a.m.
n = 4 meses
lembrando:
M = C + J
J = C.i.n
M = C + C.i.n
Substituindo os dados :
M = C + C.i.n
2.512 = C + C.0,01.4
2.512 = C + 0,04C
2.512 = 1,04C
2512/1,04 = C
C = 2.415,38
05- Qual a taxa de juros simples utilizada em um empréstimo de R$
3.200,00 cujo valor pago 3 meses após sua contratação foi de R$
3.800,00?
Dados:
i = ?
C = 3.200
M = 3.800
n = 3 meses
lembrando:
(*) M = C + C.i.n
Substituindo :
M = C + C.i.n
3800 = 3200 + 3200.i.3
3800 = 3200 + 9600.i
3800 – 3200 = 9600.i
600 = 9600.i
600/9600 = i
i = 0,0625 = 6,25% a.m.
06- Jorge emprestou de seu amigo Marcos R$ 4.000,00 e pagou
pelo empréstimo, R$ 325,00 de juros, a uma taxa de 2,5% a.m. no
regime de capitalização simples. Qual foi o período de empréstimo?
Dados:
C = 4000
J = 300
i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
t = ?
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo os dados:
300 = 4000.0,025.t
300 = 100.t
300/100 = t
t = 3 meses
07- Qual a taxa de juros simples que aplicada a um determinado capital durante 4 meses o duplicará?
Dados:
Capital = C
J =C
t = 4 meses
i = ?
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo:
J = C.i.t
C = C.i.4
C = 4.C.i
C/4.C = i
¼ = i
0,25 = 25% = i = 25% a.m.
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO - JUROS SIMPLES
1) O juro produzido por um capital de 5.000,00 aplicado à taxa de
juros simples de 6% a.a. durante 2 anos é igual a:
a) 500,00
b) 1.200,00
c) 1.000,00
d) 800,00
e) 600,00
2) O juro de uma aplicação de 1.000,00 em 18 meses, se a taxa de
juros é de 42% a.a. é de:
a) 720,00
b) 420,00
c) 756,00
d) 630,00
e) 1.200,00
3) A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a., para que se obtenha 1.000,00 no fim de 4 anos é:
a) 320,00
b) 543,47
c) 238,09
d) 570,00
e) 757,58
4) Um capital aplicado a 5% ao mês a juro simples, triplicará em:
a) 3 anos
b) 80 meses
c) 40 meses
d) 12 meses
e) 50meses
5) Um principal de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros simples
de 2,2% a.m., atingindo, depois de certo período, um montante
equivalente ao volume de juros gerados por outra aplicação, também a juros simples, de R$ 12.000,00 a 5% a.m. durante 1 ano. O prazo de aplicação do primeiro principal foi de:
a) 10 meses
b) 20 meses
c) 2 anos
d) 1,5 ano
e) 30 meses
6) A taxa de juros simples relativa a uma aplicação de R$ 10.000,00 por um período de 10 meses, que gera um montante de R$ 15.000,00 é de:
a) 48% a.a.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 100% a.a.
e) 5% a.m.
7) Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista ou 20% do
valor à vista, como entrada, e mais um pagamento de R$ 2.760,00
após 6 meses. A taxa de juros cobrada é de:
a) 30% a.a.
b) 1% a.d.
c) 3% a.m.
d) 360% a.a.
e) 12% a.a.
8) As taxas de juros ao ano, proporcionais às taxas25% a.t.; 18%
a.b.; 30% a.q. e 15% a.m., são, respectivamente:
a) 100%; 108%; 90%; 180%
b) 100%; 180%; 90%; 108%
c) 75%; 26%; 120%; 150%
d) 75%; 150%; 120%; 26%
e) 100%; 150%; 120%; 108%
9) As taxas de juros bimestrais equivalentes às taxas de 120% a.a.;
150% a.s.; 86% a.q. e 90% a.t. são respectivamente:
a) 40%; 100%; 86%; 120%
b) 60%; 43%; 50%; 20%
c) 20%; 50%; 43%; 60%
d) 120%; 86%; 100%; 40%
e) 20%; 43%; 50%; 60%
10) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 3.000,00. Que taxa equivalente
semestral recebeu?
a) 10%
b) 40%
c) 6,6%
d) 8,4%
e) 12%
11) Os juros simples comercial e exato das propostas abaixo
relacionadas são, respectivamente:
R$ 800,00 a 20% a.a., por 90 dias
R$ 1.100,00 a 27% a.a., por 135 dias
R$ 2.800,00 a 30% a.a., por 222 dias
a) 111,38 e 109,85; 518,00 e 510,90; 40,00 e 39,45
b) 40,00 e 39,45; 111,38 e 109,85; 518,00 e 519,90
c) 39,45 e 40,00; 109,85 e 111,38; 510,90 e 518,00
d) 40,00 e 39,95; 109,85 e 111,38; 518,00 e 510,90
e) 40,00 e 111,38; 39,45 e 109,85; 510,90 e 518,00
12) O juro simples exato do capital de R$ 33.000,00,colocado à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 1945 a 28 de maio do mesmo ano, foi de:
a) R$ 664,52
b) R$ 660,00
c) R$ 680,00
d) R$ 658,19
e) R$ 623,40
13) A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa dejuros de 42%
a.a., pelo prazo de 100 dias. O juro dessa aplicação se for
considerado juro comercial e juro exato, será, em R$,
respectivamente:
a) 175,00 e 172,12
b) 172,12 e 175,00
c) 175,00 e 172,60
d) 172,60 e 175,00
e) 170,00 e 175,00
14) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a. em 12 de fevereiro de 1996. Se o resgate for efetuado em 03 de maio de 1996, o juro comercial recebido pelo aplicador foi, em R$, de:
a) 138,89
b) 138,69
c) 140,26
d) 140,62
e) 142,60
15) Certa pessoa obteve um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 12% a.a. Algum tempo depois, tendo encontrado quem lhe emprestasse R$ 150.000,00 à taxa de juros simples de 11% a.a., liquidou a dívida inicial e, na mesma data, contraiu novo débito.
Dezoito meses depois de ter contraído o primeiro empréstimo,
saldou sua obrigação e verificou ter pago um total de R$ 22.500,00
de juros. Os prazos do primeiro e do segundo empréstimo são,
respectivamente:
a) 12 meses e 6 meses
b) 18 meses e 6 meses
c) 6 meses e 12 meses
d) 6 meses e 18 meses
e) 12 meses e 18 meses
16) João fez um depósito a prazo fixo por 2 anos. Decorrido o prazo, o montante, que era de R$ 112.000,00, foi reaplicado em mais um ano a uma taxa de juros 15% superior à primeira. Sendo o montante de R$ 137.760,00 e o regime de capitalização juros simples, o capital inicial era, em R$:
a) 137.760,00
b) 156.800,00
c) 80.000,00
d) 96.000,00
e) 102.000,00
17) O prazo em que um capital colocado à taxa de 5% a.a., rende um juro comercial igual a 1/50 de seu valor é igual a:
a) 144 dias
b) 146 dias
c) 150 dias
d) 90 dias
e) 80 dias
18) Uma pessoa sacou R$ 24.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito no final de 3 meses e pagar ao todo R$ 24.360,00.
A taxa de juro cobrada pelo uso daquele capital foide:
a) 4,06% a.a.
b) 6% a.a.
c) 4,5% a.a.
d) 8% a.a.
e) 1% a.m.
19) Um agricultor, possuidor de um estoque de 5.000 sacas de café,
na esperança de uma alta do produto, rejeita uma oferta de compra
desse estoque ao preço de R$ 80,00 a saca. Dois meses mais tarde,
forçado pelas circunstâncias, vende o estoque ao preço de R$ 70,00 a saca. Sabendo-se que a taxa corrente de juro é de 6% a.a., o prejuízo real do agricultor, em R$, foi de:
a) 350.000,00
b) 50.000,00
c) 54.000,00
d) 38.000,00
e) 404.000,00
20) A taxa de juros anual a que de ser colocado um capital para que produza 1/60 de seu valor em 4 meses é de:
a) 7,2%
b) 8%
c) 4%
d) 6%
e) 5%
21) Um negociante obteve R$ 100.000,00 de empréstimo à taxa de
7% a.a. Alguns meses depois, tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importância a 6% a.a., assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que pagou, ao todo, R$ 6.250,00 de juros.O prazo do primeiro empréstimo foi de?
a) 9 meses
b) 6 meses
c) 11 meses
d) 3 meses
e) 7 meses
22) Uma pessoa deposita num banco um capital que, no fim de 3
meses (na época do encerramento das contas), se eleva, juntamente com o juro produzido, a R$ 18.180,00. Este montante, rendendo juro à mesma taxa e na mesma conta, produz, no fim de 6 meses, outro montante de R$ 18.543,60. O capital inicial foi de, em R$:
a) 18.000,00
b) 16.000,00
c) 15.940,00
d) 17.820,00
e) 17.630,00
23) A taxa de juro do banco foi de:
a) 48% a.a.
b) 3% a.m.
c) 8% a.a.
d) 10% a.a.
e) 4% a.a.
24) O prazo para que o montante produzido por um capital de R$
1.920,00, aplicado a 25% a.a., se iguale a um outro montante
produzido por um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a.,
admitindo-se que os dois capitais sejam investidos namesma data, é
de:
a) 4 meses
b) 6 anos
c) 6 meses
d) 2 anos
e) 4 anos
25) Emprestei R$ 55.000,00, durante 120 dias, e recebi juros de R$
550,00. A taxa mensal aplicada foi de:
a) 2,5% a.m.
b) 25,25% a.m.
c) 2,25% a.m.
d) 0,25% a.m.
e) 4% a.m.
26) Uma pessoa deposita R$ 30.000,00 num banco que paga 4%
a.a. de juros, e receber, ao fim de certo tempo, juros iguais a 1/6 do
capital. O prazo de aplicação desse dinheiro foi de:
a) 60 meses
b) 80 meses
c) 50 meses
d) 4 anos
e) 2100 dias
27) Uma pessoa emprestou certo capital a 6% a.a. Depois de um ano
e meio retirou o capital e os juros e aplicou novamente o total, desta vez a 8% a.a. Sabendo que no fim de 2 anos e meio, após a segunda aplicação, veio a retirar o montante de R$ 26.160,00. O capital emprestado no início foi de, em R$:
a) 20.000,00
b) 21.800,00
c) 23.600,00
d) 19.000,00
e) 19.630,00
28) O capital que, aplicado a uma taxa de 3/4% a.m., produz R$
10,80 de juros anuais é, em R$:
a) 144,00
b) 97,20
c) 110,00
d) 90,00
e) 120,00
29) Um capital aumentado de seus juros durante 15 meses se elevou a R$ 264,00. Esse mesmo capital diminuído de seus juros durante 10 meses ficou reduzido a R$ 224,00. A taxa empregada foi de:
a) 18% a.a.
b) 8% a.a.
c) 1% a.m.
d) 0,5% a.m.
e) 0,01% a.d.
30) Certa pessoa emprega metade de seu capital jurossimples,
durante 2 anos, à taxa de 5% a.a. e metade durante 3anos, à taxa de 8% a.a., obtendo, assim, o rendimento total de R$ 2.040,00. O seu capital é de, em R$:
a) 6.000,00
b) 12.000,00
c) 14.000,00
d) 7.000,00
e) 12.040,00
31) A taxa mensal de um capital igual R$ 4.200,00, aplicado por 480 dias e que rendeu R$ 1.232,00 de juros é de:
a) 2,08%
b) 8.08%
c) 1,83%
d) 3,68%
e) 2,44%
32) (TTN/89) Os juros simples que um capital de 10.000,00 rende
em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a. o valor de:
a) 700,00
b) 1.000,00
c) 1.600,00
d) 600,00
e) 900,00
33) (TTN/89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12%
a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é de:
a) 1.100,00
b) 1.000,00
c) 1.392,00
d) 1.200,00
e) 1.399,68
34) (TTN/92) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se
obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por Cr$
400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?
a) Cr$ 420.000,00
b) Cr$ 450.000,00
c) Cr$ 480.000,00
d) Cr$ 520.000,00
e) Cr$ 500.000,00
Gabarito:
1E – 2D – 3E – 4C – 5B – 6E – 7A – 8A – 9C – 10A – 11B – 12B –
13C – 14D – 15C -16C – 17A – 18B – 19C – 20E – 21D – 22A – 23E –
24E – 25D – 26C – 27A – 28E – 29B – 30B – 31C – 32E– 33D –
34E
I- CONCEITOS BÁSICOS
-Capital (C)– quantidade de dinheiro que será transacionada
-Juro (J)– remuneração pelo uso do capital
-Taxa de Juros (i)– relação entre os juros pagos e o capital num
intervalo de tempo chamado período
-Montante (M) – soma do capital com os juros no final do prazo
-Fluxo de Caixa– relação de entradas e saídas de dinheiro
- Regimes de Capitalização
Sistema de Capitalização Simples ou Juros Simples; o juro de
qualquer período é constante pois é sempre calculadosobre o
capital inicial.
Sistema de Capitalização Composta ou Juros Compostos; o
juro de cada período é calculado sobre o capital inicial mais os
juros acumulados até o período anterior.
Na resolução dos problemas é importante que a
PERIODICIDADE DA TAXA DE JUROS e o PRAZO de aplicação estejam expressos na mesma unidade de tempo.
II- JURO SIMPLES
O juros será simples quando incidir apenas sobre o valor do capital
inicial. Nos períodos subsequentes, os juros não serão acrescidos
de novos juros.Capital inicial ou valor principal é o valor
inicialmente considerado na transação, antes de somarmos os
juros. Suas fórmulas são:
J = C . i . t
M = C + J
M = C + C.i.t
Observe que no lado direito do sinal de igual há um fator comum, a
variável C, que pode ser colocada em evidência, ficando a fórmula
com o seguinte aspecto:
M = C ( 1 + it)
O fator (1 + it) é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE
CAPITAL para juros simples.
Para calcular o montante a juros simples, basta multiplicar o capital
C pelo fator de acumulação de capital (1 + it).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS SIMPLES
01. Calcular o montante produzido por um capital de R$ 10.ooo,00
aplicado a uma taxa de juros de 4% a.a, pelo prazo de 1,5 anos.
dados:
M = ?
C = 10000
i = 4% a.a. = 0,04 a.a.
t (prazo) = 1,5 anos
lembrando:
J = C.i.t
M = C + J
No exemplo apresentado, a unidade de tempo adotada para medir a
periodicidade da taxa de juros é igual a do prazo . Então podemos
escrever diretamente que t = 1,5.
J = C. i. t
J = 10000 . 0,04 . 1,5
J = 600
M = C + J
M = 10000 + 600
M = R$ 10.600,00
Poderíamos calcular o montante diretamente utilizando a fórmula:
M = C (1 + it). O resultado é o mesmo:
M = 10000 (1 + 0,04 . 1,5)
M = 6000 . 1,06
M = R$ 10.600,00
02. Calcular o montante produzido por um capital de R$ 10.000,00
durante 3 anos, considerando o regime de juros simples, a uma taxa
de 5% a.t.
Dados:
M =?
C = 10000
t = 3 anos
i = 5% a.t.
Observe que o prazo é anual e a taxa é trimestral. Para que possamos calcular os juros é necessário que adotemos a mesma unidade de tempo para a taxa de juros e para o prazo. Iremos converter a taxa, de trimestral para anual.
t = 3 anos
i = 5% a.t. = 20% a.a. ( 1 ano tem 4 trimestres e, portanto, 5% . 4 =
20% a.a.) = 0,20 a.a. lembrando:
M = C + J
J = C.i.t
M = C + C.i.t
substituindo os dados:
M = C + C.i.t
M = 10000 + 10000.0,20.3
M = 10000 + 6000
M = R$ 16.000,00
Taxas Proporcionais
Ao transformarmos, na resolução do exercício 2, a taxa de 5% a.t.
para 20% a.a., utilizamos o conceito de TAXAS DE JUROS
PROPORCIONAIS. Naquele contexto (regime de juros simples),
raciocinamos que 5% em um trimestre era a mesma coisa que 20%
em quatro trimestres. Observe que:
20%/4 trimestres = 5%/1 trimestre
Assim, duas taxas i1e i2, com os respectivos períodos n1e n2 medidos na mesma unidade de tempo, são ditas proporcionais quando obedecerem à seguinte relação:
i1/n1= i2/n2
Outros exemplos:
2% a.a. é proporcional a 1% a.m., pois 12%/12m = 1%/1m
10% a.s. é proporcional a 20% a.a., pois 10%/1s = 20%/2s
6% a.t. é proporcional a 2% a.m.,pois 6%/3m = 2%/1m
36% a.a. é proporcional a 9% a.t., pois 36%/4t = 9%/1t
03- Uma dívida, no valor de 1.000, vencida em 01/02/12, será paga em 10/03/12, no sistema de capitalização simples, a uma taxa de juros comercial (1 ano = 360 dias e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro) de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros pagos:
dados:
J = ?
i = 36% a.a. = 0,1% a.d.= 0,001 a.d.
t = número de dias entre 01/02/12 e 10/03/12 = 40 dias ( 30 dias de
janeiro + 10 dias de fevereiro, uma vez que o ano é o comercial)
C = 1.000
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo:
J = C.i.t
J = 1.000 . 0,001.40
J = R$ 40,00
OBSERVAÇÃO:
Para o cálculo dos juros existem três convenções utilizadas na
matemática financeira. O examinador deverá dizer qual delas
devemos utilizar. As convenções são: juro exato, juro comercial (ou ordinário) e juro bancário.
JURO EXATO
A contagem do número de dias (n) se faz utilizando oano civil
(aquele que é representado no calendário).
Portanto, dada uma taxa anual (ianual), os juros (J) produzidos por
um capital (C), durante n dias, serão dados por:
J = C . ianual. n/365
n = número de dias contados no calendário do ano civil.
Atenção:
. O número de dias (n) deve ser contado no calendário, portanto
você deve saber o número exato de dias de cada mês do calendário;
. Caso o ano seja bissexto , a divisão na expressãoacima será feita
por 366 e não por 365, já que o ano bissexto tem um dia a mais.
Aplicando juro exato ao exercício 03, os juros seriam:
J = 1000 . 0,36 . 41/366
J = 40,33
No denominador da expressão acima utilizamos o valor 366 porque
2012 é ano bissexto. O número n de dias entre 01/02/12 e 10/03/12
contados segundo o calendário civil é de 41 (31 dias de janeiro e 10 dias de fevereiro).
JURO COMERCIAL
A contagem do número de dias se faz utilizando o anocomercial (1
ano = 360 e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro).
Para o caso de juro comercial:
J = C . ianual. n/360
n = n
o de dias contados no calendário do ano comercial.
Aplicando ao nosso problema:
J = 1000 . 0,36 . 40/360
J = R$ 40,00
JURO BANCÁRIO
A contagem do número de dias (n) se faz pelo calendário ano civil,
mas o juro diário é calculado utilizando o ano comercial.
Para o caso do juro bancário:
J = C . ianual . n/360
n = n
o de dias contados no calendário do ano civil.
Aplicando ao problema 03, temos:
J = 1.000 . 0,36 . 41/360
J = R$ 41,00
CONCLUSÃO:
O juro bancário é o maior.
04- Qual o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 12% a.a., durante 4 meses, resultou em um montante de R$ 2.512,00?
dados:
C = ?
i = 12% a.a. = 1% a.m. = 0,01 a.m.
n = 4 meses
lembrando:
M = C + J
J = C.i.n
M = C + C.i.n
Substituindo os dados :
M = C + C.i.n
2.512 = C + C.0,01.4
2.512 = C + 0,04C
2.512 = 1,04C
2512/1,04 = C
C = 2.415,38
05- Qual a taxa de juros simples utilizada em um empréstimo de R$
3.200,00 cujo valor pago 3 meses após sua contratação foi de R$
3.800,00?
Dados:
i = ?
C = 3.200
M = 3.800
n = 3 meses
lembrando:
(*) M = C + C.i.n
Substituindo :
M = C + C.i.n
3800 = 3200 + 3200.i.3
3800 = 3200 + 9600.i
3800 – 3200 = 9600.i
600 = 9600.i
600/9600 = i
i = 0,0625 = 6,25% a.m.
06- Jorge emprestou de seu amigo Marcos R$ 4.000,00 e pagou
pelo empréstimo, R$ 325,00 de juros, a uma taxa de 2,5% a.m. no
regime de capitalização simples. Qual foi o período de empréstimo?
Dados:
C = 4000
J = 300
i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
t = ?
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo os dados:
300 = 4000.0,025.t
300 = 100.t
300/100 = t
t = 3 meses
07- Qual a taxa de juros simples que aplicada a um determinado capital durante 4 meses o duplicará?
Dados:
Capital = C
J =C
t = 4 meses
i = ?
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo:
J = C.i.t
C = C.i.4
C = 4.C.i
C/4.C = i
¼ = i
0,25 = 25% = i = 25% a.m.
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO - JUROS SIMPLES
1) O juro produzido por um capital de 5.000,00 aplicado à taxa de
juros simples de 6% a.a. durante 2 anos é igual a:
a) 500,00
b) 1.200,00
c) 1.000,00
d) 800,00
e) 600,00
2) O juro de uma aplicação de 1.000,00 em 18 meses, se a taxa de
juros é de 42% a.a. é de:
a) 720,00
b) 420,00
c) 756,00
d) 630,00
e) 1.200,00
3) A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a., para que se obtenha 1.000,00 no fim de 4 anos é:
a) 320,00
b) 543,47
c) 238,09
d) 570,00
e) 757,58
4) Um capital aplicado a 5% ao mês a juro simples, triplicará em:
a) 3 anos
b) 80 meses
c) 40 meses
d) 12 meses
e) 50meses
5) Um principal de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros simples
de 2,2% a.m., atingindo, depois de certo período, um montante
equivalente ao volume de juros gerados por outra aplicação, também a juros simples, de R$ 12.000,00 a 5% a.m. durante 1 ano. O prazo de aplicação do primeiro principal foi de:
a) 10 meses
b) 20 meses
c) 2 anos
d) 1,5 ano
e) 30 meses
6) A taxa de juros simples relativa a uma aplicação de R$ 10.000,00 por um período de 10 meses, que gera um montante de R$ 15.000,00 é de:
a) 48% a.a.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 100% a.a.
e) 5% a.m.
7) Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista ou 20% do
valor à vista, como entrada, e mais um pagamento de R$ 2.760,00
após 6 meses. A taxa de juros cobrada é de:
a) 30% a.a.
b) 1% a.d.
c) 3% a.m.
d) 360% a.a.
e) 12% a.a.
8) As taxas de juros ao ano, proporcionais às taxas25% a.t.; 18%
a.b.; 30% a.q. e 15% a.m., são, respectivamente:
a) 100%; 108%; 90%; 180%
b) 100%; 180%; 90%; 108%
c) 75%; 26%; 120%; 150%
d) 75%; 150%; 120%; 26%
e) 100%; 150%; 120%; 108%
9) As taxas de juros bimestrais equivalentes às taxas de 120% a.a.;
150% a.s.; 86% a.q. e 90% a.t. são respectivamente:
a) 40%; 100%; 86%; 120%
b) 60%; 43%; 50%; 20%
c) 20%; 50%; 43%; 60%
d) 120%; 86%; 100%; 40%
e) 20%; 43%; 50%; 60%
10) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 3.000,00. Que taxa equivalente
semestral recebeu?
a) 10%
b) 40%
c) 6,6%
d) 8,4%
e) 12%
11) Os juros simples comercial e exato das propostas abaixo
relacionadas são, respectivamente:
R$ 800,00 a 20% a.a., por 90 dias
R$ 1.100,00 a 27% a.a., por 135 dias
R$ 2.800,00 a 30% a.a., por 222 dias
a) 111,38 e 109,85; 518,00 e 510,90; 40,00 e 39,45
b) 40,00 e 39,45; 111,38 e 109,85; 518,00 e 519,90
c) 39,45 e 40,00; 109,85 e 111,38; 510,90 e 518,00
d) 40,00 e 39,95; 109,85 e 111,38; 518,00 e 510,90
e) 40,00 e 111,38; 39,45 e 109,85; 510,90 e 518,00
12) O juro simples exato do capital de R$ 33.000,00,colocado à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 1945 a 28 de maio do mesmo ano, foi de:
a) R$ 664,52
b) R$ 660,00
c) R$ 680,00
d) R$ 658,19
e) R$ 623,40
13) A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa dejuros de 42%
a.a., pelo prazo de 100 dias. O juro dessa aplicação se for
considerado juro comercial e juro exato, será, em R$,
respectivamente:
a) 175,00 e 172,12
b) 172,12 e 175,00
c) 175,00 e 172,60
d) 172,60 e 175,00
e) 170,00 e 175,00
14) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a. em 12 de fevereiro de 1996. Se o resgate for efetuado em 03 de maio de 1996, o juro comercial recebido pelo aplicador foi, em R$, de:
a) 138,89
b) 138,69
c) 140,26
d) 140,62
e) 142,60
15) Certa pessoa obteve um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 12% a.a. Algum tempo depois, tendo encontrado quem lhe emprestasse R$ 150.000,00 à taxa de juros simples de 11% a.a., liquidou a dívida inicial e, na mesma data, contraiu novo débito.
Dezoito meses depois de ter contraído o primeiro empréstimo,
saldou sua obrigação e verificou ter pago um total de R$ 22.500,00
de juros. Os prazos do primeiro e do segundo empréstimo são,
respectivamente:
a) 12 meses e 6 meses
b) 18 meses e 6 meses
c) 6 meses e 12 meses
d) 6 meses e 18 meses
e) 12 meses e 18 meses
16) João fez um depósito a prazo fixo por 2 anos. Decorrido o prazo, o montante, que era de R$ 112.000,00, foi reaplicado em mais um ano a uma taxa de juros 15% superior à primeira. Sendo o montante de R$ 137.760,00 e o regime de capitalização juros simples, o capital inicial era, em R$:
a) 137.760,00
b) 156.800,00
c) 80.000,00
d) 96.000,00
e) 102.000,00
17) O prazo em que um capital colocado à taxa de 5% a.a., rende um juro comercial igual a 1/50 de seu valor é igual a:
a) 144 dias
b) 146 dias
c) 150 dias
d) 90 dias
e) 80 dias
18) Uma pessoa sacou R$ 24.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito no final de 3 meses e pagar ao todo R$ 24.360,00.
A taxa de juro cobrada pelo uso daquele capital foide:
a) 4,06% a.a.
b) 6% a.a.
c) 4,5% a.a.
d) 8% a.a.
e) 1% a.m.
19) Um agricultor, possuidor de um estoque de 5.000 sacas de café,
na esperança de uma alta do produto, rejeita uma oferta de compra
desse estoque ao preço de R$ 80,00 a saca. Dois meses mais tarde,
forçado pelas circunstâncias, vende o estoque ao preço de R$ 70,00 a saca. Sabendo-se que a taxa corrente de juro é de 6% a.a., o prejuízo real do agricultor, em R$, foi de:
a) 350.000,00
b) 50.000,00
c) 54.000,00
d) 38.000,00
e) 404.000,00
20) A taxa de juros anual a que de ser colocado um capital para que produza 1/60 de seu valor em 4 meses é de:
a) 7,2%
b) 8%
c) 4%
d) 6%
e) 5%
21) Um negociante obteve R$ 100.000,00 de empréstimo à taxa de
7% a.a. Alguns meses depois, tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importância a 6% a.a., assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que pagou, ao todo, R$ 6.250,00 de juros.O prazo do primeiro empréstimo foi de?
a) 9 meses
b) 6 meses
c) 11 meses
d) 3 meses
e) 7 meses
22) Uma pessoa deposita num banco um capital que, no fim de 3
meses (na época do encerramento das contas), se eleva, juntamente com o juro produzido, a R$ 18.180,00. Este montante, rendendo juro à mesma taxa e na mesma conta, produz, no fim de 6 meses, outro montante de R$ 18.543,60. O capital inicial foi de, em R$:
a) 18.000,00
b) 16.000,00
c) 15.940,00
d) 17.820,00
e) 17.630,00
23) A taxa de juro do banco foi de:
a) 48% a.a.
b) 3% a.m.
c) 8% a.a.
d) 10% a.a.
e) 4% a.a.
24) O prazo para que o montante produzido por um capital de R$
1.920,00, aplicado a 25% a.a., se iguale a um outro montante
produzido por um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a.,
admitindo-se que os dois capitais sejam investidos namesma data, é
de:
a) 4 meses
b) 6 anos
c) 6 meses
d) 2 anos
e) 4 anos
25) Emprestei R$ 55.000,00, durante 120 dias, e recebi juros de R$
550,00. A taxa mensal aplicada foi de:
a) 2,5% a.m.
b) 25,25% a.m.
c) 2,25% a.m.
d) 0,25% a.m.
e) 4% a.m.
26) Uma pessoa deposita R$ 30.000,00 num banco que paga 4%
a.a. de juros, e receber, ao fim de certo tempo, juros iguais a 1/6 do
capital. O prazo de aplicação desse dinheiro foi de:
a) 60 meses
b) 80 meses
c) 50 meses
d) 4 anos
e) 2100 dias
27) Uma pessoa emprestou certo capital a 6% a.a. Depois de um ano
e meio retirou o capital e os juros e aplicou novamente o total, desta vez a 8% a.a. Sabendo que no fim de 2 anos e meio, após a segunda aplicação, veio a retirar o montante de R$ 26.160,00. O capital emprestado no início foi de, em R$:
a) 20.000,00
b) 21.800,00
c) 23.600,00
d) 19.000,00
e) 19.630,00
28) O capital que, aplicado a uma taxa de 3/4% a.m., produz R$
10,80 de juros anuais é, em R$:
a) 144,00
b) 97,20
c) 110,00
d) 90,00
e) 120,00
29) Um capital aumentado de seus juros durante 15 meses se elevou a R$ 264,00. Esse mesmo capital diminuído de seus juros durante 10 meses ficou reduzido a R$ 224,00. A taxa empregada foi de:
a) 18% a.a.
b) 8% a.a.
c) 1% a.m.
d) 0,5% a.m.
e) 0,01% a.d.
30) Certa pessoa emprega metade de seu capital jurossimples,
durante 2 anos, à taxa de 5% a.a. e metade durante 3anos, à taxa de 8% a.a., obtendo, assim, o rendimento total de R$ 2.040,00. O seu capital é de, em R$:
a) 6.000,00
b) 12.000,00
c) 14.000,00
d) 7.000,00
e) 12.040,00
31) A taxa mensal de um capital igual R$ 4.200,00, aplicado por 480 dias e que rendeu R$ 1.232,00 de juros é de:
a) 2,08%
b) 8.08%
c) 1,83%
d) 3,68%
e) 2,44%
32) (TTN/89) Os juros simples que um capital de 10.000,00 rende
em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a. o valor de:
a) 700,00
b) 1.000,00
c) 1.600,00
d) 600,00
e) 900,00
33) (TTN/89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12%
a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é de:
a) 1.100,00
b) 1.000,00
c) 1.392,00
d) 1.200,00
e) 1.399,68
34) (TTN/92) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se
obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por Cr$
400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?
a) Cr$ 420.000,00
b) Cr$ 450.000,00
c) Cr$ 480.000,00
d) Cr$ 520.000,00
e) Cr$ 500.000,00
Gabarito:
1E – 2D – 3E – 4C – 5B – 6E – 7A – 8A – 9C – 10A – 11B – 12B –
13C – 14D – 15C -16C – 17A – 18B – 19C – 20E – 21D – 22A – 23E –
24E – 25D – 26C – 27A – 28E – 29B – 30B – 31C – 32E– 33D –
34E
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