JUROS COMPOSTOS
O juro composto é o mais utilizado pelo sistema financeiro, lojas e
comércio em geral. Os juros gerados a cada período são
incorporados ao capital para formação de novos juros, ou seja ,
“juros sobre juros”.
Vamos a um exemplo:
Você aplicou R$ 1.000,00 em uma instituição financeira a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizados mensalmente, durante 3 meses.
Vamos calcular o montante M3no final desse prazo.
Temos que:
C = 1.000
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 3 (capitalização mensal)
Então, o montante M1no final do primeiro período será dado por:
M1= 1.000
M1= 1.000 . 1,02
M1= 1.020
O montante M2 no final do segundo período será dado por:
M2= 1.020 (1 + 0,02)
M2= 1061,21
O montante M3no final do terceiro período será dado por:
M3= 1.040,40 (1 + 0,02)
M3= 1.061,21
Verifique que montante do primeiro período foi utilizado para o
cálculo do juro do segundo período e assim sucessivamente.
Fórmula do Montante a Juros Compostos
Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a uma taxa de juros compostos i ao período.
Calculemos o montante Mnno final dos n períodos utilizando o
mesmo processo do exemplo anterior, ou seja, período a período.
M1= C(1 + i)
M2= M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2
M3= M2(1 + i) = C(1 + i)2
. (1 + i) = C(1 + i)3
Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica:
M1= C(1 + i)
Para o montante do segundo período, encontramos:
M2= C(1 + i)2
Para o montante do terceiro,
M3= C(1 + i)3
É facil concluir que a fórmula do montante do enésimo período será:
Mn= C(1 + i)n
O fator (1 + i)n
é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO
CAPITAL para JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR DE
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, sendo frequentemente indicado pela letra an. Como vimos anteriormente, ele guarda alguma semelhança com o fator de acumulação de capital para JUROS SIMPLES, dado pela expressão (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos, o montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação.
A fórmula dos juros compostos acumulados no final do prazo é
obtida a partir da fórmula geral de juros, conforme segue:
J = M – C
J = C(1 + i)n– C
Colocando C em evidência, obtemos:
Jn= C [ (1+ i)n– 1]
Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos?
Essa dúvida é frequente quando iniciamos o estudo damatemática
financeira.
Existem determinadas expressões que indicam o regime de
capitalização composta, tais como:
juros compostos
capitalização composta
montante composto
taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com
capitalização anual)
taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente(indica juros
compostos com capitalização a cada bimestre)
A principal diferença entre o regime simples e o composto,
entretanto, é que, em juros compostos, é necessário que saibamos,
através do enunciado do problema, o período das capitalizações.
Em juros simples podíamosescolhero período de capitalização que
nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderíamos transformar a taxa para mensal(2% a.m.) e usar o prazo em meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual.Em juros compostos não podemos fazer isso,
pois o problema dirá como devemos CAPITALIZAR A TAXA,ou
seja, se os períodos serão mensais, anuais etc.
Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela deve ser CAPITALIZADA ou COMPOSTA.
Se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa, devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.
Exemplos:
dada uma taxa de 48% ao anoCAPITALIZADA
MENSALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa igual a
4% ao mês.
dada a taxa de 48% ao anoCAPITALIZADA
SEMESTRALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa de
24% ao semestre.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS COMPOSTOS
01- Uma pessoa faz uma aplicação no valor de 10.000 durante 11 meses, a uma taxa de juros de 5% a.m. capitalizados mensalmente. Calcular o montante no final do prazo.
Resolução:
C = 10.000
prazo (t) = 11 meses; como a capitalização é mensal,
n = 11
i = 5% a.m. = 0,05 a.m.
M = C (1 + i)n
M = 10.000 (1 + 0,05)11
Obs.:
O problema está em calcular o fator de acumulação do capital que
normalmente é dado pelo examinador da seguinte forma:
a) no início da prova; exemplo: (1,05)11= 1,7103; ou
b) por meio de uma tabela financeira.
Voltando ao cálculo do montante:
M = 10.000 . 1,710339 (você deve utilizar todas as casas decimais
fornecidas para o fator)
M = 17.103,39
02- Calcular o montante de um capital de R$ 100,00 aplicado a juros compostos de 60% a.a., capitalizados mensalmente, durante um ano.
Resolução:
Temos que:
C = 100
i = 60% a.a. capitalizados mensalmente
prazo de aplicação (t) = 1 ano = 12 meses
Este exemplo traz uma novidade importantíssima. Como já dissemos anteriormente, em juros compostos é fundamental que se diga qual o PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO dos juros. Vimos, também, que nem sempre ele coincide com a periodicidade da taxa. Neste exercício, por exemplo, a taxa é anual mas a capitalização é mensal.
Precisamos determinar, a partir da taxa dada, uma outra taxa que
tenha periodicidade idêntica ao período da capitalização, e fazemos
isto, como já foi dito, utilizando o conceito de TAXAS
PROPORCIONAIS.
No nosso exemplo, a taxa é de 60% a.a., com capitalização mensal;
logo, considerando que um ano tem doze meses, a taxa proporcional mensal será um doze avos da taxa nominal, ou seja: i =60% a.a. = 5% a.m. = 0,05 a.m.
Neste caso, dizemos que a taxa de juros de 60% a.a. fornecida é uma TAXA NOMINAL. A taxa nominal tem a desvantagem de não poder ser introduzida diretamente na fórmula do montante composto, pois possui período diferente do da capitalização.
Outro cuidado que você deve tomar é com o PRAZO. Da mesma
forma que a periodicidade da taxa, o prazo de aplicação também
deve estar expresso na mesma unidade de medida de tempodo
período de capitalização. Assim, se a capitalização é mensal, o prazo tem que ser expresso em meses, se a capitalização é trimestral, o prazo tem que ser expresso em trimestres,etc.
No prazo de um ano fornecido no enunciado do exercício, temos 12 períodos mensais, logo n = 12.
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,05)12
Com base em tabelas fornecidas, iremos verificar que, para i = 5% e
n = 12,
(1 + 0,05)12= 1,795856
Logo,
M = 100 . 1,795856
M = R$ 179,59
Comparando:
a) Se em vez de juros COMPOSTOS, o problema anterior fosse de
juros SIMPLES, de quanto seria o montante?
Resposta: seria de R$ 160,00.
Por quê?
Porque o montante de um capital igual a R$ 100,00 aplicado a juros simples de 60% a.a. durante um ano é dado por:
M = C (1 + in)
M = 100 (1 + 0,60 . 1) = 160,00
Por que o montante a juros compostos é maior?
Porque a cada mês o juro é adicionado ao capital, produzindo um
montante que será utilizado para calcular o juro do período seguinte.
Portanto, calculamos jurossobre juros.
b) Veja que, apesar de a taxa nominal ser igual a 60% a.a., o capital, em um ano, aumentou de 79,59%, pois passou de 100,00 para 179,59. Daí se conclui que a taxa nominal (60% a.a.)é apenas uma taxa de referência. Deve ser capitalizada de acordo com o período determinado pelo problema.
A taxa produzida na capitalização da taxa nominal é chamada de
TAXA EFETIVA DE JUROS. Portanto uma taxa nominal de 60%
a.a., capitalizada mensalmente, produz uma taxa efetiva anual de
79,59%.
c) Outra coisa importante é que, para uma mesma taxa nominal, se
mudarmos o período de capitalização, a taxa efetiva também
mudará.
Imagine que, no nosso exemplo, a taxa continue a ser 60% a.a., mas com capitalização TRIMESTRAL. Neste caso, considerando-se que em um ano temos quatro trimestres, escrevemos que:
i = 15% a.t. = 0,15 a.t.
n = 4
O montante composto será dado por:
M = C(1 + i)n
M = 100(1 + 0,15)4
M = 100 x 1,749006
M = R$ 174,90
O montante foi menor porque diminuímos o número de
capitalizações (antes elas estavam sendo feitas a cada mês; agora, de três em três meses). A taxa efetiva nesse caso será igual a 74,90% a.a.
03- Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma taxa de 16% a.a., com capitalização semestral, durante 20 anos e 6 meses.
Resolução:
Como capitalização é semestral, é necessário transformar a taxa
anual em semestral e expressar o prazo em semestres .
C = 8.000
i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s.
t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41
M = C (1 + i)n
M = 8.000 (1 + 0,08)41
Caso não encontre o fator na tabela dada, o que fazer?
Simples, utilize o seu conhecimento sobre potências de mesma base:
(1 + 0,008)41= (1 + 0,008)30. (1 + 0,008)11
(1 + 0,008)41= 10,06266 . 2,331639 = 23,462490
M = 8.000 . 23,462490
M = 187.699,92
04- Calcular o capital e o juros que gerou um montante de R$
1.210,00 em 2 meses a uma taxa de juros nominal de 60% a.s.
capitalizados mensalmente no regime composto.
M = 1210
i = 60% a.s. = 10%a.m. = 0,10
n = 2 meses
C = ?
M = C(1 + i)n
Substituindo:
1210 = C.(1 + 0,10)²
1210 = C.(1,1)²
1210 = C.1,21
C = 1210/1,21
C = R$ 1.000,00
J = M – C
J = 1210 – 1000
J = R$ 210,00
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - JUROS COMPOSTOS
1)O montante de um capital igual a R$ 47.000,00, no fim de 1 ano,
com juros de 48% a.a., capitalizados semestralmente, é, em R$ e
desprezando os centavos:
a) 75.248,00
b) 82.010,00
c) 99.459,00
d) 81.576,00
e) 72.267,00
2)O juro pago, no caso do empréstimo de R$ 26.000,00,à taxa de
21% ao semestre, capitalizados bimestralmente, pelo prazo de 10
meses, é, em R$:
a) 10.466,35
b) 36.466,35
c) 9.459,45
d) 12.459,68
e) 10.000,69
3)O montante composto de R$ 86.000,00, colocados a 4,5% a.m.,
capitalizados mensalmente, em 7 meses, é, em R$ e desprezando os
centavos:
a) 113.090,00
b) 115.368,00
c) 117.090,00
d) 129.459,00
e) 114.687,00
4)Qual é o capital que, aplicado a 2,5% a.m., capitalizados
trimestralmente, durante 15 meses, produz o montante de R$
50.000,00? (despreze os centavos)
a) R$ 36.363,00
b) R$ 33.586,00
c) R$ 30.854,00
d) R$ 34.820,00
e) R$ 30.584,00
5)Uma pessoa aplica R$ 680,00 à taxa de juros vigente no mercado
de 27,6% a.a., com capitalização mensal, durante dois anos.
Utilizando a tabela fornecida no final deste capítulo e o método de
interpolação linear, determine os juros proporcionados pela
aplicação ao final do prazo dado (despreze os centavos).
a) R$ 670,00
b) R$ 500,00
c) R$ 890,00
d) R$ 420,00
e) R$ 200,00
6)A taxa anual de juros equivalente a 3,5% a.m., capitalizados
mensalmente, é, aproximadamente, igual a:
a) 42%
b) 35%
c) 0,50%
d) 51%
e) 10%
7)A taxa trimestral, equivalente a 21,55% a.a. capitalizados
anualmente, é, aproximadamente:
a) 5%
b) 7%
c) 8%
d) 9%
e) 10%
8)A taxa nominal anual aproximada, equivalente a uma taxa efetiva
de 60,1% a.a., é:
a) 60%
b) 48%
c) 4%
d) 56%
e) 39%
9)A taxa de juros mensal, capitalizada mensalmente, aproximada,
que fará um capital dobrar em 1 ano é, aproximadamente,igual a:
a) 8%
b) 7%
c) 5%
d) 9%
e) 6%
10)As taxas efetivas anuais, aproximadas, cobradas nasseguintes
hipóteses:
1) taxa nominal 18% a.a., capitalização mensal;
2) taxa nominal 20% a.a., capitalização trimestral;
são iguais a, respectivamente:
a) 19,6% e 21,9%
b) 18,0% e 21,6%
c) 19,6% e 21,6%
d) 21,9% e 19,6%
e) 21,6% e 23,8%
11)(ESAF) A aplicação de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime
de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10%
a.m., resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:
a) de Cz$ 3.000,00
b) de Cz$ 13.000,00
c) inferior a Cz$ 13.000,00
d) superior a Cz$ 13.000,00
e) menor do que aquele que seria obtido pelo regimede juros
simples
12)(TCDF/94) Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00
à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá
gerar após 4 meses?
a) CR$ 140.410,00
b) CR$ 142.410,00
c) CR$ 144.410,00
d) CR$ 146.410,00
e) CR$ 148.410,00
13)(ESAF) Se para um mesmo capital, aplicado durante qualquer
período de tempo maior do que zero e a uma certa e a uma certa taxa
t, chamarmos:
M1: Montante calculado no regime de juros simples
M2: Montante calculado no regime de juros compostos pela
convenção exponencial
M3: Montante calculado no regime de juros compostos pela
convenção linear
Teremos:
a) M3> M1para qualquer t > a
b) M3= M1para qualquer 0 < t < 1
c) M3< M2para qualquer t > 0, desde que não seja inteiro
d) M3< M2quando t é inteiro
e) M2> M1para qualquer t > a
14)(ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente
durante 3 anos, na base de 10% a.a., seu montante final é de:
a) 30% superior ao capital inicial
b) 130% do valor do capital inicial
c) aproximadamente 150% do capital inicial
d) aproximadamente 133% do capital inicial
15)(CEB/94) A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de
juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$
80.000,00 durante 2 meses?
a) R$ 801,00
b) R$ 802,00
c) R$ 803,00
d) R$ 804,00
e) R$ 805,00
16)(BC/94) A taxa de 30% a.t., com capitalização mensal,
corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:
a) 20%
b) 21%
c) 22%
d) 23%
e) 24%
17)(BANESPA/85) Se você depositar R$ 150.000,00 em um banco
que lhe pague juros compostos de 6% a.a., quais serão,
respectivamente, os juros e o montante após 1 ano?
a) R$ 900,00 e R$ 150.900,00
b) R$ 6.000,00 e R$ 156.000,00
c) R$ 8.500,00 e R$ 158.500,00
d) R$ 9.000,00 e R$ 159.000,00
e) R$ 9.000,00 e R$ 160.000,00
18)(BANERJ/89) O montante produzido por R$ 10.000,00
aplicados a juros compostos, a 1% ao mês, durante 3 meses, é igual
a:
a) R$ 10.300,00
b) R$ 10.303,01
c) R$ 10.305,21
d) R$ 10.321,05
e) R$ 10.325,01
19)(BANESPA/85) Qual o montante de R$ 50.000,00, aplicado à
taxa de juros compostos à 3% a.m., por dois meses?
a) R$ 53.045,00
b) R$ 57.045,00
c) R$ 71.000,00
d) R$ 64.750,00
e) R$ 71.000,00
20)(CESGRANRIO/85) Uma pessoa deposita R$ 100.000,00 em
uma Caderneta de Poupança que rende 10% a cada mês. Se não fez
qualquer retirada, ao final de três meses, ela terána sua caderneta:
a) R$ 132.000,00
b) R$ 133.100,00
c) R$ 134.200,00
d) R$ 134.500,00
21)(CEDAE/91) Uma pessoa aplicou R$ 50.000,00 a juros
compostos, à taxa de 10% ao mês, durante 3 meses. Recebeu de juros
a seguinte quantia:
a) R$ 66.500,00
b) R$ 55.000,00
c) R$ 18.500,00
d) R$ 16.550,00
e) R$ 15.000,00
22)(BC) Numa financeira, os juros são capitalizados
trimestralmente. Quanto renderá de juros, ali, um capital de R$
145,00, em um ano, a uma taxa de 40% ao trimestre?
a) R$ 557.032,00
b) R$ 542.880,00
c) R$ 412.032,00
d) R$ 337.000,00
e) R$ 397.988,00
23)(BC) Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compostos, rendendo
7% a cada bimestre, quanto teremos após 3 anos?
a) R$ 25.000,00 x (1,70)6
b) R$ 25.000,00 x (1,07)18
c) R$ 25.000,00 x (0,93)3
d) R$ 25.000,00 x (0,07)18
e) R$ 25.000,00 x (0,70)18
24)(IRPJ/91) O capital de R$ 100.000,00, colocado a juros
compostos, capitalizados mensalmente, durante 8 meses, elevou-se
no final desse prazo a R$ 170.000,00. A taxa de juros, ao mês,
corresponde aproximadamente a:
(considere (170) 1/8= 1,068578)
a) 3,42%
b) 5,15%
c) 6,85%
d) 8,55%
e) 10,68%
25)(BANERJ/89) O capital de R$ 10.000,00 colocando a juros
compostos, capitalizados mensalmente, durante 8 meses, elevou-se
no final desse prazo a R$ 14.800,00. Com o auxílio de uma
calculadora eletrônica verifica-se que:
(1,48) 1/8= 1,050226
A taxa mensal de juros a que foi empregado esse capital vale,
aproximadamente:
a) 1,05%
b) 1,48%
c) 2,26%
d) 4,80%
e) 5,02%
26)(AA/90) A juros compostos, um capital C, aplicado a 3,6% ao
mês, quadruplicará no seguinte número aproximado de meses:
Dados: log 2 = 0,30103, log 1,01536
a) 30
b) 33
c) 36
d) 39
e) 42
27)(ALERJ/91) Um capital de R$ 100.000,00, aplicado a juros
compostos, à taxa de 3% ao mês, duplica de valor após um certo
número n que está compreendido ente:
Dados: log 2 = 0,30103, log 1,03 = 0,01283
a) 8 e 12
b) 12 e 16
c) 16 e 20
d) 20 e 24
e) 24 e 28
28)(BANERJ/89) Um capital foi colocado a juros compostos a uma
taxa semestral de 5%. A taxa anual equivalente a essa taxa semestral
corresponde a:
a) 10%
b) 10,05%
c) 10,15%
d) 10,25%
e) 10,75%
29)Um certo capital de R$ 100,00 transformou-se, após uma
aplicação a juros compostos, em R$ 6.400,00 com uma taxa de
100% a.a. Quantos anos se passaram?
a) 6 anos
b) 12 anos
c) 18 anos
d) 24 anos
e) 2 anos
30)(ALERJ/91) Um capital Cfoi aplicado, a juros compostos, a
uma taxa idada para um certo período. O montante no fim de n
períodos é M. O capital C pode ser determinado pela seguinte
expressão:
a) M (1 – i)n
b) M (1 + i)n
c) M/(1 – i)n
d) M/(1 + i)n
e) M [(1 + i)n– 1]
31)O valor que devo aplicar hoje, a juros capitalizados
bimestralmente de 3,5% ao mês, para obter R$ 22.410,00 de juros
ao fim de 1 ano e 4 meses é, em R$:
a) 30.531,91
b) 53.613,00
c) 48.734,47
d) 30.586,84
e) 33.730,09
32)Certo capital foi colocado a juros compostos a 32% a.a.,
capitalizados trimestralmente, durante 3 anos. Sabendo que rendeu
R$ 4.617,00 de juros, o montante obtido foi de, em R$
a) 3.041,42
b) 7.658,16
c) 6.890,05
d) 10.699,95
e) 4.809,32
33)O tempo necessário para que R$ 75.000,00 produza o montante
de R$ 155.712,00, à taxa de 22% a.a., com capitalização semestral, é de:
a) 10 semestres
b) 50 meses
c) 7 anos
d) 4 anos e 6 meses
e) 3 anos 6 meses
34)Qual o tempo necessário para que R$ 12.500,00 produzam R$
6.000,00 de juros a 24% ao ano capitalizados semestralmente?
(Sugestão: você chegará a uma equação exponencial; para resolvê-la, utilize os dados da tabela financeira para i = 12% na página 60 e faça uma interpolação linear)
a) 1 ano, 8 meses e 22 dias
b) 684 dias
c) 2 anos
d) 1 ano, 2 meses e 15 dias
e) 700 dias
35)Uma pessoa colocou 3/4 do seu capital a 20% a.a., capitalizados
semestralmente, e o restante a 12% a.s., capitalizados
trimestralmente. Sabendo-se que a primeira parcela proporcionou
R$ 60.769,10 de juros, o montante no final de 4 anosserá, em R$:
a) 113.908,54
b) 44.997,32
c) 167.475,30
d) 128.645,00
e) 158.905,24
36)O capital que durante 4 anos, colocado a 12% a.a.,capitalizados
bimestralmente, produz um juro de R$ 12.252,00 a mais do que
seria produzido com capitalizações semestrais é de, em R$:
a) 96.605,00
b) 666.660,00
c) 110.465,00
d) 839.800,74
e) 476.396,00
37)Uma importância no valor de R$ 2.823.774,00 foi dividida em 3
partes, de tal modo que, colocadas a 20% a.a., capitalizados
anualmente, produziram montantes iguais nas datas 2, 3, e 5 anos,
respectivamente. O valor da parcela que produziu o montante na
data 5 é aproximadamente igual a, em R$:
a) 1.170.700,93
b) 975.584,11
c) 849.000,12
d) 560.475,42
e) 677.488,96
38)Um capital foi colocado a 20% a.a., capitalizados
semestralmente, e outro a 18% a.a., capitalizados
quadrimestralmente. No fim de 2 anos os juros do primeiro capital
excederam de R$ 6.741,00 os juros do segundo. Sabendo que o
primeiro é R$ 10.000,00 maior que o segundo, um dos capitais, em
R$, é igual a:
a) 112.142,00
b) 73.459,00
c) 46.071,94
d) 58.349,00
e) 85.230,00
39)Uma pessoa depositou R$ 10.000,00 num banco, no dia
31/12/71, a juros 24% a.a., capitalizados semestralmente. A partir de 01/01/77 o banco reduziu sua taxa de juro para 22% a.a.,
capitalizados trimestralmente. O montante daquele depósito no dia
30/06/80 era:
a) 31.058,43
b) 48.586,70
c) 56.596,35
d) 65.722,58
e) 39.520,08
40)O montante no fim de 8 anos, do capital R$ 2.000,00,
colocando a juros compostos à taxa de 6,3% a.a., capitalizados
atualmente, é:
a) 2.848,35
b) 2.568,48
c) 2.508,94
d) 2.192,22
e) 3.260,58
41)Uma pessoa precisa de R$ 10.000,00 por dois anos. Oferecemlhe o dinheiro nas seguintes condições:
1) 5,5% a.a. compostos trimestralmente ou;
2) 5,5% a.a. compostos semestralmente, ou ainda;
3) 5,5% a.a. a juros simples
Podemos afirmar que:
a) a condição 1 é pior do que a 3
b) a condição 3 é melhor do que a 2
c) a condição 2 é melhor do que a 1
d) a condição 1 é melhor do que a 3
e) todas são iguais
42)A taxa nominal anual, com capitalizações semestrais,que
conduz à taxa efetiva de 40% a.a. é:
a) 34,12%
b) 11%
c) 28,95%
d) 36,64%
e) 30,67%
GABARITO
1E – 2A – 3C – 4D – 5B – 6D – 7A – 8B – 9E – 10C – 11D – 12D – 13B – 14D – 15B – 16B – 17D – 18B – 19A – 20B – 21D– 22C – 23B – 24C – 25E – 26D – 27D – 28D – 29A – 30D – 31A – 32B – 33E – 34A – 35E – 36D – 37E – 38C – 39D – 40E – 41D – 42D
O juro composto é o mais utilizado pelo sistema financeiro, lojas e
comércio em geral. Os juros gerados a cada período são
incorporados ao capital para formação de novos juros, ou seja ,
“juros sobre juros”.
Vamos a um exemplo:
Você aplicou R$ 1.000,00 em uma instituição financeira a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizados mensalmente, durante 3 meses.
Vamos calcular o montante M3no final desse prazo.
Temos que:
C = 1.000
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 3 (capitalização mensal)
Então, o montante M1no final do primeiro período será dado por:
M1= 1.000
M1= 1.000 . 1,02
M1= 1.020
O montante M2 no final do segundo período será dado por:
M2= 1.020 (1 + 0,02)
M2= 1061,21
O montante M3no final do terceiro período será dado por:
M3= 1.040,40 (1 + 0,02)
M3= 1.061,21
Verifique que montante do primeiro período foi utilizado para o
cálculo do juro do segundo período e assim sucessivamente.
Fórmula do Montante a Juros Compostos
Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a uma taxa de juros compostos i ao período.
Calculemos o montante Mnno final dos n períodos utilizando o
mesmo processo do exemplo anterior, ou seja, período a período.
M1= C(1 + i)
M2= M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2
M3= M2(1 + i) = C(1 + i)2
. (1 + i) = C(1 + i)3
Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica:
M1= C(1 + i)
Para o montante do segundo período, encontramos:
M2= C(1 + i)2
Para o montante do terceiro,
M3= C(1 + i)3
É facil concluir que a fórmula do montante do enésimo período será:
Mn= C(1 + i)n
O fator (1 + i)n
é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO
CAPITAL para JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR DE
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, sendo frequentemente indicado pela letra an. Como vimos anteriormente, ele guarda alguma semelhança com o fator de acumulação de capital para JUROS SIMPLES, dado pela expressão (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos, o montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação.
A fórmula dos juros compostos acumulados no final do prazo é
obtida a partir da fórmula geral de juros, conforme segue:
J = M – C
J = C(1 + i)n– C
Colocando C em evidência, obtemos:
Jn= C [ (1+ i)n– 1]
Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos?
Essa dúvida é frequente quando iniciamos o estudo damatemática
financeira.
Existem determinadas expressões que indicam o regime de
capitalização composta, tais como:
juros compostos
capitalização composta
montante composto
taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com
capitalização anual)
taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente(indica juros
compostos com capitalização a cada bimestre)
A principal diferença entre o regime simples e o composto,
entretanto, é que, em juros compostos, é necessário que saibamos,
através do enunciado do problema, o período das capitalizações.
Em juros simples podíamosescolhero período de capitalização que
nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderíamos transformar a taxa para mensal(2% a.m.) e usar o prazo em meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual.Em juros compostos não podemos fazer isso,
pois o problema dirá como devemos CAPITALIZAR A TAXA,ou
seja, se os períodos serão mensais, anuais etc.
Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela deve ser CAPITALIZADA ou COMPOSTA.
Se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa, devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.
Exemplos:
dada uma taxa de 48% ao anoCAPITALIZADA
MENSALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa igual a
4% ao mês.
dada a taxa de 48% ao anoCAPITALIZADA
SEMESTRALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa de
24% ao semestre.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS COMPOSTOS
01- Uma pessoa faz uma aplicação no valor de 10.000 durante 11 meses, a uma taxa de juros de 5% a.m. capitalizados mensalmente. Calcular o montante no final do prazo.
Resolução:
C = 10.000
prazo (t) = 11 meses; como a capitalização é mensal,
n = 11
i = 5% a.m. = 0,05 a.m.
M = C (1 + i)n
M = 10.000 (1 + 0,05)11
Obs.:
O problema está em calcular o fator de acumulação do capital que
normalmente é dado pelo examinador da seguinte forma:
a) no início da prova; exemplo: (1,05)11= 1,7103; ou
b) por meio de uma tabela financeira.
Voltando ao cálculo do montante:
M = 10.000 . 1,710339 (você deve utilizar todas as casas decimais
fornecidas para o fator)
M = 17.103,39
02- Calcular o montante de um capital de R$ 100,00 aplicado a juros compostos de 60% a.a., capitalizados mensalmente, durante um ano.
Resolução:
Temos que:
C = 100
i = 60% a.a. capitalizados mensalmente
prazo de aplicação (t) = 1 ano = 12 meses
Este exemplo traz uma novidade importantíssima. Como já dissemos anteriormente, em juros compostos é fundamental que se diga qual o PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO dos juros. Vimos, também, que nem sempre ele coincide com a periodicidade da taxa. Neste exercício, por exemplo, a taxa é anual mas a capitalização é mensal.
Precisamos determinar, a partir da taxa dada, uma outra taxa que
tenha periodicidade idêntica ao período da capitalização, e fazemos
isto, como já foi dito, utilizando o conceito de TAXAS
PROPORCIONAIS.
No nosso exemplo, a taxa é de 60% a.a., com capitalização mensal;
logo, considerando que um ano tem doze meses, a taxa proporcional mensal será um doze avos da taxa nominal, ou seja: i =60% a.a. = 5% a.m. = 0,05 a.m.
Neste caso, dizemos que a taxa de juros de 60% a.a. fornecida é uma TAXA NOMINAL. A taxa nominal tem a desvantagem de não poder ser introduzida diretamente na fórmula do montante composto, pois possui período diferente do da capitalização.
Outro cuidado que você deve tomar é com o PRAZO. Da mesma
forma que a periodicidade da taxa, o prazo de aplicação também
deve estar expresso na mesma unidade de medida de tempodo
período de capitalização. Assim, se a capitalização é mensal, o prazo tem que ser expresso em meses, se a capitalização é trimestral, o prazo tem que ser expresso em trimestres,etc.
No prazo de um ano fornecido no enunciado do exercício, temos 12 períodos mensais, logo n = 12.
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,05)12
Com base em tabelas fornecidas, iremos verificar que, para i = 5% e
n = 12,
(1 + 0,05)12= 1,795856
Logo,
M = 100 . 1,795856
M = R$ 179,59
Comparando:
a) Se em vez de juros COMPOSTOS, o problema anterior fosse de
juros SIMPLES, de quanto seria o montante?
Resposta: seria de R$ 160,00.
Por quê?
Porque o montante de um capital igual a R$ 100,00 aplicado a juros simples de 60% a.a. durante um ano é dado por:
M = C (1 + in)
M = 100 (1 + 0,60 . 1) = 160,00
Por que o montante a juros compostos é maior?
Porque a cada mês o juro é adicionado ao capital, produzindo um
montante que será utilizado para calcular o juro do período seguinte.
Portanto, calculamos jurossobre juros.
b) Veja que, apesar de a taxa nominal ser igual a 60% a.a., o capital, em um ano, aumentou de 79,59%, pois passou de 100,00 para 179,59. Daí se conclui que a taxa nominal (60% a.a.)é apenas uma taxa de referência. Deve ser capitalizada de acordo com o período determinado pelo problema.
A taxa produzida na capitalização da taxa nominal é chamada de
TAXA EFETIVA DE JUROS. Portanto uma taxa nominal de 60%
a.a., capitalizada mensalmente, produz uma taxa efetiva anual de
79,59%.
c) Outra coisa importante é que, para uma mesma taxa nominal, se
mudarmos o período de capitalização, a taxa efetiva também
mudará.
Imagine que, no nosso exemplo, a taxa continue a ser 60% a.a., mas com capitalização TRIMESTRAL. Neste caso, considerando-se que em um ano temos quatro trimestres, escrevemos que:
i = 15% a.t. = 0,15 a.t.
n = 4
O montante composto será dado por:
M = C(1 + i)n
M = 100(1 + 0,15)4
M = 100 x 1,749006
M = R$ 174,90
O montante foi menor porque diminuímos o número de
capitalizações (antes elas estavam sendo feitas a cada mês; agora, de três em três meses). A taxa efetiva nesse caso será igual a 74,90% a.a.
03- Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma taxa de 16% a.a., com capitalização semestral, durante 20 anos e 6 meses.
Resolução:
Como capitalização é semestral, é necessário transformar a taxa
anual em semestral e expressar o prazo em semestres .
C = 8.000
i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s.
t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41
M = C (1 + i)n
M = 8.000 (1 + 0,08)41
Caso não encontre o fator na tabela dada, o que fazer?
Simples, utilize o seu conhecimento sobre potências de mesma base:
(1 + 0,008)41= (1 + 0,008)30. (1 + 0,008)11
(1 + 0,008)41= 10,06266 . 2,331639 = 23,462490
M = 8.000 . 23,462490
M = 187.699,92
04- Calcular o capital e o juros que gerou um montante de R$
1.210,00 em 2 meses a uma taxa de juros nominal de 60% a.s.
capitalizados mensalmente no regime composto.
M = 1210
i = 60% a.s. = 10%a.m. = 0,10
n = 2 meses
C = ?
M = C(1 + i)n
Substituindo:
1210 = C.(1 + 0,10)²
1210 = C.(1,1)²
1210 = C.1,21
C = 1210/1,21
C = R$ 1.000,00
J = M – C
J = 1210 – 1000
J = R$ 210,00
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - JUROS COMPOSTOS
1)O montante de um capital igual a R$ 47.000,00, no fim de 1 ano,
com juros de 48% a.a., capitalizados semestralmente, é, em R$ e
desprezando os centavos:
a) 75.248,00
b) 82.010,00
c) 99.459,00
d) 81.576,00
e) 72.267,00
2)O juro pago, no caso do empréstimo de R$ 26.000,00,à taxa de
21% ao semestre, capitalizados bimestralmente, pelo prazo de 10
meses, é, em R$:
a) 10.466,35
b) 36.466,35
c) 9.459,45
d) 12.459,68
e) 10.000,69
3)O montante composto de R$ 86.000,00, colocados a 4,5% a.m.,
capitalizados mensalmente, em 7 meses, é, em R$ e desprezando os
centavos:
a) 113.090,00
b) 115.368,00
c) 117.090,00
d) 129.459,00
e) 114.687,00
4)Qual é o capital que, aplicado a 2,5% a.m., capitalizados
trimestralmente, durante 15 meses, produz o montante de R$
50.000,00? (despreze os centavos)
a) R$ 36.363,00
b) R$ 33.586,00
c) R$ 30.854,00
d) R$ 34.820,00
e) R$ 30.584,00
5)Uma pessoa aplica R$ 680,00 à taxa de juros vigente no mercado
de 27,6% a.a., com capitalização mensal, durante dois anos.
Utilizando a tabela fornecida no final deste capítulo e o método de
interpolação linear, determine os juros proporcionados pela
aplicação ao final do prazo dado (despreze os centavos).
a) R$ 670,00
b) R$ 500,00
c) R$ 890,00
d) R$ 420,00
e) R$ 200,00
6)A taxa anual de juros equivalente a 3,5% a.m., capitalizados
mensalmente, é, aproximadamente, igual a:
a) 42%
b) 35%
c) 0,50%
d) 51%
e) 10%
7)A taxa trimestral, equivalente a 21,55% a.a. capitalizados
anualmente, é, aproximadamente:
a) 5%
b) 7%
c) 8%
d) 9%
e) 10%
8)A taxa nominal anual aproximada, equivalente a uma taxa efetiva
de 60,1% a.a., é:
a) 60%
b) 48%
c) 4%
d) 56%
e) 39%
9)A taxa de juros mensal, capitalizada mensalmente, aproximada,
que fará um capital dobrar em 1 ano é, aproximadamente,igual a:
a) 8%
b) 7%
c) 5%
d) 9%
e) 6%
10)As taxas efetivas anuais, aproximadas, cobradas nasseguintes
hipóteses:
1) taxa nominal 18% a.a., capitalização mensal;
2) taxa nominal 20% a.a., capitalização trimestral;
são iguais a, respectivamente:
a) 19,6% e 21,9%
b) 18,0% e 21,6%
c) 19,6% e 21,6%
d) 21,9% e 19,6%
e) 21,6% e 23,8%
11)(ESAF) A aplicação de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime
de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10%
a.m., resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:
a) de Cz$ 3.000,00
b) de Cz$ 13.000,00
c) inferior a Cz$ 13.000,00
d) superior a Cz$ 13.000,00
e) menor do que aquele que seria obtido pelo regimede juros
simples
12)(TCDF/94) Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00
à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá
gerar após 4 meses?
a) CR$ 140.410,00
b) CR$ 142.410,00
c) CR$ 144.410,00
d) CR$ 146.410,00
e) CR$ 148.410,00
13)(ESAF) Se para um mesmo capital, aplicado durante qualquer
período de tempo maior do que zero e a uma certa e a uma certa taxa
t, chamarmos:
M1: Montante calculado no regime de juros simples
M2: Montante calculado no regime de juros compostos pela
convenção exponencial
M3: Montante calculado no regime de juros compostos pela
convenção linear
Teremos:
a) M3> M1para qualquer t > a
b) M3= M1para qualquer 0 < t < 1
c) M3< M2para qualquer t > 0, desde que não seja inteiro
d) M3< M2quando t é inteiro
e) M2> M1para qualquer t > a
14)(ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente
durante 3 anos, na base de 10% a.a., seu montante final é de:
a) 30% superior ao capital inicial
b) 130% do valor do capital inicial
c) aproximadamente 150% do capital inicial
d) aproximadamente 133% do capital inicial
15)(CEB/94) A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de
juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$
80.000,00 durante 2 meses?
a) R$ 801,00
b) R$ 802,00
c) R$ 803,00
d) R$ 804,00
e) R$ 805,00
16)(BC/94) A taxa de 30% a.t., com capitalização mensal,
corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:
a) 20%
b) 21%
c) 22%
d) 23%
e) 24%
17)(BANESPA/85) Se você depositar R$ 150.000,00 em um banco
que lhe pague juros compostos de 6% a.a., quais serão,
respectivamente, os juros e o montante após 1 ano?
a) R$ 900,00 e R$ 150.900,00
b) R$ 6.000,00 e R$ 156.000,00
c) R$ 8.500,00 e R$ 158.500,00
d) R$ 9.000,00 e R$ 159.000,00
e) R$ 9.000,00 e R$ 160.000,00
18)(BANERJ/89) O montante produzido por R$ 10.000,00
aplicados a juros compostos, a 1% ao mês, durante 3 meses, é igual
a:
a) R$ 10.300,00
b) R$ 10.303,01
c) R$ 10.305,21
d) R$ 10.321,05
e) R$ 10.325,01
19)(BANESPA/85) Qual o montante de R$ 50.000,00, aplicado à
taxa de juros compostos à 3% a.m., por dois meses?
a) R$ 53.045,00
b) R$ 57.045,00
c) R$ 71.000,00
d) R$ 64.750,00
e) R$ 71.000,00
20)(CESGRANRIO/85) Uma pessoa deposita R$ 100.000,00 em
uma Caderneta de Poupança que rende 10% a cada mês. Se não fez
qualquer retirada, ao final de três meses, ela terána sua caderneta:
a) R$ 132.000,00
b) R$ 133.100,00
c) R$ 134.200,00
d) R$ 134.500,00
21)(CEDAE/91) Uma pessoa aplicou R$ 50.000,00 a juros
compostos, à taxa de 10% ao mês, durante 3 meses. Recebeu de juros
a seguinte quantia:
a) R$ 66.500,00
b) R$ 55.000,00
c) R$ 18.500,00
d) R$ 16.550,00
e) R$ 15.000,00
22)(BC) Numa financeira, os juros são capitalizados
trimestralmente. Quanto renderá de juros, ali, um capital de R$
145,00, em um ano, a uma taxa de 40% ao trimestre?
a) R$ 557.032,00
b) R$ 542.880,00
c) R$ 412.032,00
d) R$ 337.000,00
e) R$ 397.988,00
23)(BC) Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compostos, rendendo
7% a cada bimestre, quanto teremos após 3 anos?
a) R$ 25.000,00 x (1,70)6
b) R$ 25.000,00 x (1,07)18
c) R$ 25.000,00 x (0,93)3
d) R$ 25.000,00 x (0,07)18
e) R$ 25.000,00 x (0,70)18
24)(IRPJ/91) O capital de R$ 100.000,00, colocado a juros
compostos, capitalizados mensalmente, durante 8 meses, elevou-se
no final desse prazo a R$ 170.000,00. A taxa de juros, ao mês,
corresponde aproximadamente a:
(considere (170) 1/8= 1,068578)
a) 3,42%
b) 5,15%
c) 6,85%
d) 8,55%
e) 10,68%
25)(BANERJ/89) O capital de R$ 10.000,00 colocando a juros
compostos, capitalizados mensalmente, durante 8 meses, elevou-se
no final desse prazo a R$ 14.800,00. Com o auxílio de uma
calculadora eletrônica verifica-se que:
(1,48) 1/8= 1,050226
A taxa mensal de juros a que foi empregado esse capital vale,
aproximadamente:
a) 1,05%
b) 1,48%
c) 2,26%
d) 4,80%
e) 5,02%
26)(AA/90) A juros compostos, um capital C, aplicado a 3,6% ao
mês, quadruplicará no seguinte número aproximado de meses:
Dados: log 2 = 0,30103, log 1,01536
a) 30
b) 33
c) 36
d) 39
e) 42
27)(ALERJ/91) Um capital de R$ 100.000,00, aplicado a juros
compostos, à taxa de 3% ao mês, duplica de valor após um certo
número n que está compreendido ente:
Dados: log 2 = 0,30103, log 1,03 = 0,01283
a) 8 e 12
b) 12 e 16
c) 16 e 20
d) 20 e 24
e) 24 e 28
28)(BANERJ/89) Um capital foi colocado a juros compostos a uma
taxa semestral de 5%. A taxa anual equivalente a essa taxa semestral
corresponde a:
a) 10%
b) 10,05%
c) 10,15%
d) 10,25%
e) 10,75%
29)Um certo capital de R$ 100,00 transformou-se, após uma
aplicação a juros compostos, em R$ 6.400,00 com uma taxa de
100% a.a. Quantos anos se passaram?
a) 6 anos
b) 12 anos
c) 18 anos
d) 24 anos
e) 2 anos
30)(ALERJ/91) Um capital Cfoi aplicado, a juros compostos, a
uma taxa idada para um certo período. O montante no fim de n
períodos é M. O capital C pode ser determinado pela seguinte
expressão:
a) M (1 – i)n
b) M (1 + i)n
c) M/(1 – i)n
d) M/(1 + i)n
e) M [(1 + i)n– 1]
31)O valor que devo aplicar hoje, a juros capitalizados
bimestralmente de 3,5% ao mês, para obter R$ 22.410,00 de juros
ao fim de 1 ano e 4 meses é, em R$:
a) 30.531,91
b) 53.613,00
c) 48.734,47
d) 30.586,84
e) 33.730,09
32)Certo capital foi colocado a juros compostos a 32% a.a.,
capitalizados trimestralmente, durante 3 anos. Sabendo que rendeu
R$ 4.617,00 de juros, o montante obtido foi de, em R$
a) 3.041,42
b) 7.658,16
c) 6.890,05
d) 10.699,95
e) 4.809,32
33)O tempo necessário para que R$ 75.000,00 produza o montante
de R$ 155.712,00, à taxa de 22% a.a., com capitalização semestral, é de:
a) 10 semestres
b) 50 meses
c) 7 anos
d) 4 anos e 6 meses
e) 3 anos 6 meses
34)Qual o tempo necessário para que R$ 12.500,00 produzam R$
6.000,00 de juros a 24% ao ano capitalizados semestralmente?
(Sugestão: você chegará a uma equação exponencial; para resolvê-la, utilize os dados da tabela financeira para i = 12% na página 60 e faça uma interpolação linear)
a) 1 ano, 8 meses e 22 dias
b) 684 dias
c) 2 anos
d) 1 ano, 2 meses e 15 dias
e) 700 dias
35)Uma pessoa colocou 3/4 do seu capital a 20% a.a., capitalizados
semestralmente, e o restante a 12% a.s., capitalizados
trimestralmente. Sabendo-se que a primeira parcela proporcionou
R$ 60.769,10 de juros, o montante no final de 4 anosserá, em R$:
a) 113.908,54
b) 44.997,32
c) 167.475,30
d) 128.645,00
e) 158.905,24
36)O capital que durante 4 anos, colocado a 12% a.a.,capitalizados
bimestralmente, produz um juro de R$ 12.252,00 a mais do que
seria produzido com capitalizações semestrais é de, em R$:
a) 96.605,00
b) 666.660,00
c) 110.465,00
d) 839.800,74
e) 476.396,00
37)Uma importância no valor de R$ 2.823.774,00 foi dividida em 3
partes, de tal modo que, colocadas a 20% a.a., capitalizados
anualmente, produziram montantes iguais nas datas 2, 3, e 5 anos,
respectivamente. O valor da parcela que produziu o montante na
data 5 é aproximadamente igual a, em R$:
a) 1.170.700,93
b) 975.584,11
c) 849.000,12
d) 560.475,42
e) 677.488,96
38)Um capital foi colocado a 20% a.a., capitalizados
semestralmente, e outro a 18% a.a., capitalizados
quadrimestralmente. No fim de 2 anos os juros do primeiro capital
excederam de R$ 6.741,00 os juros do segundo. Sabendo que o
primeiro é R$ 10.000,00 maior que o segundo, um dos capitais, em
R$, é igual a:
a) 112.142,00
b) 73.459,00
c) 46.071,94
d) 58.349,00
e) 85.230,00
39)Uma pessoa depositou R$ 10.000,00 num banco, no dia
31/12/71, a juros 24% a.a., capitalizados semestralmente. A partir de 01/01/77 o banco reduziu sua taxa de juro para 22% a.a.,
capitalizados trimestralmente. O montante daquele depósito no dia
30/06/80 era:
a) 31.058,43
b) 48.586,70
c) 56.596,35
d) 65.722,58
e) 39.520,08
40)O montante no fim de 8 anos, do capital R$ 2.000,00,
colocando a juros compostos à taxa de 6,3% a.a., capitalizados
atualmente, é:
a) 2.848,35
b) 2.568,48
c) 2.508,94
d) 2.192,22
e) 3.260,58
41)Uma pessoa precisa de R$ 10.000,00 por dois anos. Oferecemlhe o dinheiro nas seguintes condições:
1) 5,5% a.a. compostos trimestralmente ou;
2) 5,5% a.a. compostos semestralmente, ou ainda;
3) 5,5% a.a. a juros simples
Podemos afirmar que:
a) a condição 1 é pior do que a 3
b) a condição 3 é melhor do que a 2
c) a condição 2 é melhor do que a 1
d) a condição 1 é melhor do que a 3
e) todas são iguais
42)A taxa nominal anual, com capitalizações semestrais,que
conduz à taxa efetiva de 40% a.a. é:
a) 34,12%
b) 11%
c) 28,95%
d) 36,64%
e) 30,67%
GABARITO
1E – 2A – 3C – 4D – 5B – 6D – 7A – 8B – 9E – 10C – 11D – 12D – 13B – 14D – 15B – 16B – 17D – 18B – 19A – 20B – 21D– 22C – 23B – 24C – 25E – 26D – 27D – 28D – 29A – 30D – 31A – 32B – 33E – 34A – 35E – 36D – 37E – 38C – 39D – 40E – 41D – 42D
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