TAXAS DE JUROS
Proporcional;
Equivalente;
Nominal;
Efetiva;
Acumulada;
Real;
Aparente;
Over;
Média.
Taxas proporcionais: são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.
12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre;
1% ao mês é proporcional a 12% ao ano.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Qual é a taxa de juros mensal proporcional a taxa nominal de 12% a.a.?
12% : 12 meses = 1% a.m.
Obs.: Basta dividir a taxa nominal pelo período proporcional solicitado, que nesse caso foi mensal.
Taxas equivalentes: são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.
Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.
No regime de JUROS COMPOSTOS, todavia, as taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais.
Considere a seguinte situação: um indivíduo aplicou R$ 100,00
durante 1 ano, a uma taxa de 2% a.m., com capitalização mensal.
Vamos calcular o montante produzido no final do prazo.
C = 100
capitalização mensal
i = 2% a.m. = 0,02
t = 1 ano = 12 meses => n = 12
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,02)12
M = 100 . 1,268242
M = 126,82
Você percebeu que o capital, de 100 passou para um montante de
126,82? Houve, portanto, um aumento de 26,82%.
Se tivéssemos utilizado uma taxa de 26,82% a.a., capitalizada
ANUALMENTE, o montante seria de:
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,2682)1
M = 100 . 1,2682
M = 126,82
Uma vez que os montantes são iguais, podemos concluir que a taxa
de 2% ao mês é EQUIVALENTE, em juros compostos, à taxa de
26,82% ao ano.
O mais importante é notarmos que:
(1 + 0,02)12= (1 + 0,2682)1
Ou seja:
Duas taxas são equivalentes quando os seus fatores de capitalização
forem iguais ao mesmo prazo.
Esta é a grande dica na resolução de problemas envolvendo taxas
equivalentes. Quando se defrontar com um problema sobre taxas
equivalentes, você deve impor que os fatores de capitalização sejam iguais. E isto vale tanto para o regime de capitalização simples como para o regime de capitalização composta.
De fato, sabemos que, tanto para juros simples como juros
compostos, o montante (M) é dado pelo produto do capital (C) pelo fator de capitalização respectivo (an). Considere, então, duas taxas i1e i2, aplicadas sobre o mesmo capital C, durante o mesmo prazo t, produzindo os montantes M1e M2. Sejam an,1e an,2os respectivos fatores da acumulação de capital. Se i1e i2forem EQUIVALENTES,
teremos que:
M1= M2
C . an,1= C . an,2
an,1= an,2
Ou seja, os fatores de acumulação de capital an,1e an,2deverão ser
iguais.
Nós poderíamos ter fornecido a você uma fórmula para estabelecer
diretamente a equivalência entre uma taxa e outra. Não fizemos isso porque é perfeitamente possível resolver os problemas de
equivalência igualando os fatores de acumulação, e não queremos
que você fique com mais uma fórmula ocupando a sua cabeça.
Exercícios resolvidos
01- Calcular a taxa anual equivalente a uma taxa de 3% a.m. capitalizada mensalmente.
Resolução:
Se as taxas são equivalentes, seus fatores devem seriguais no prazo
de 1 ano. Segue que:
(1 + ianual)1= (1 + 0,03)12
O expoente do fator da taxa de 3% é igual a 12 porque, em 1 ano,
ocorrem 12 capitalizações mensais (a taxa é mensal). Já o expoente
da taxa “ianual” é igual a 1 porque, se a taxa é anual, em 1 ano ocorre apenas uma capitalização.
(1 + ianual) = 1,425760
ianual= 1,425760 – 1
ianual= 0,425760
ianual= 42,57% a.a.
Portanto a taxa de 3% a.m., capitalizada mensalmente,é equivalente à taxa de 42,57% a.a., capitalizada anualmente.
Em vez da taxa efetiva de 3% a.m., o problema poderia ter fornecido uma taxa nominal de 36% a.a. com capitalização mensal.
Resolveríamos do mesmo jeito, pois a taxa nominal de 36% a.a.
corresponde à taxa efetiva de 3% a.m. (basta usar o conceito de taxas proporcionais).
Taxa nominal:são taxas de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais,e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
12% ao ano, capitalizados mensalmente;
24% ao ano, capitalizados semestralmente;
10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
18% ao ano, capitalizados diariamente.
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida o regime de juros simples. A taxa anual equivalente
a essa taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu
origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros
compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal.
Taxa efetiva: são taxas de juros em que a unidade referencial de sue tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:
2% ao mês, capitalizados mensalmente;
3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
10% ao ano, capitalizados anualmente.
Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano.
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções
financeiras das planilhas eletrônicas.
A TAXA EFETIVA é a taxa verdadeiramente paga em uma aplicação.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01- Calcular a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 40% a.a. com capitalização trimestral.
Resolução:
Iea= taxa efetiva anual = ?
capitalização trimestral
in= 40% a.a. (taxa nominal) => ief(taxa efetiva trimestral) = 10% a.t. = 0,10 a.t.
t = 1 ano = 4 trimestres
(1 + iea)1= (1 + 0,10)4
1 + iea= 1,4641
iea= 0,4641
iea= 46,41% a.a.
02- Considerando-se regime de juros compostos, qual é a taxa mensal capitalizada mensalmente equivalente a uma taxa de 34%a.s.?
Resolução:
Queremos uma taxa mensal imque, em 6 meses, produza uma taxa
de 34%. Em 6 meses a taxa mensal terá 6 capitalizações e a taxa semestral, 1 capitalização.
34% a.s. = 0,34 a.s.
(1 + im)6= (1 + 0,34)
(1 + im)6= 1,34
Normalmente você deveria extrair a raiz sexta de 1,34 e isolar o im. Se o examinador fornecer a raiz sexta de 1,34, que é1,04998, o
cálculo torna-se fácil:
1 + im= 1,04998
im= 1,04998 – 1 = 0,04998 = 4,99% => 5%
Embora pouco provável, pode ser que, ao invés de fornecer a raiz
sexta 1,34, ele dê os seguintes dados pra você:
log 1,34 = 0,12710479
10
0,02118413= 1,04998
Este tipo de dado sugere que devemos aplicar logaritmo nos dois
lados da equação anterior, para calcular o valor dataxa mensal.
Ficaria assim:
log (1 + im)6= log 1,34
6 . log (1 + im) = log 1,34
log (1 + im) = log 1,34/6
log (1 + im) = 0,12710479/6 = 0,02118413
(1 + im) = 10
0,02118413
1 + im= 1,04998
im= 0,04998 = 4,9998% = 5%
Se na prova não for fornecida tabela de logaritmo e nem for
permitido o uso de máquina de calcular (e isto é o que tem ocorrido
mais frequentemente), a alternativa será entrar na tabela financeira
determinando qual é a taxa, para n = 6, que produziria um fator de
acumulação igual 1,34. É simples. Basta seguir com osolhos a linha
n = 6 e localizar a célula que contém o valor mais próximo possível
de 1,34. Se você procurar, vai encontrar uma célula com o valor
1,340096, cuja taxa correspondente é de 5%. Portanto, im= 5% a.m.
É evidente que, neste caso, o examinador tem que dar uma
mãozinha, fornecendo um fator fácil de procurar na tabela, senão
fica inviável a resolução da expressão acima.
taxa acumulada: são taxas de juros com taxas variáveis e normalmente são utilizadas em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
A composição das taxas pode ocorrer de duas formas,com taxas positivas ou com taxas negativas.
taxa real: nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uma aplicação financeira rendeu 10% em um determinado período de tempo, e no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%. Qual a taxa real de juros?
Fica claro que o ganho real desta aplicação não foi os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo período de tempo.
Assim, para calcular a taxa real, devemos dividir ataxa maior acrescida de uma unidade pela taxa menor acrescida de uma unidade e, após a divisão, subtrair uma unidade, usando a fórmula: ir = (1 + i>):(1 + i<) – 1
i> = 10% = 0,10
i< = 8% = 0,08
ir = (1 + 0,10):( 1 + 0,08) – 1
ir = 1,10 : 1,08 – 1
ir = 1,01851 – 1
ir = 0,01851 ou 1,85%
taxa aparente: é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação.
Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais.
( 1 + ia) = (1 + ir).(1 + i inf)
taxa over: é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão do mercado financeiro). Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento.
Esta prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 90. Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos as operações de CDIs – Certificados de Depósitos Interbancários.
taxa média:tem como base teórica o conceito estatístico da média
geométrica.
Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de um conjunto de taxas extraindo a raiz enésima, tomando-se como base o número de termos do próprio conjunto de taxas.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TAXAS DE JUROS
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TAXAS DE JUROS
(Proporcional, Nominal, Efetiva, Equivalente, Real e Aparente)
1) Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% a. m.?
2) Determinar as taxas semestral e mensal, proporcionais à taxa de 24% ao ano.
3) Qual é a taxa proporcional ao ano de uma taxa de3,5% ao trimestre?
4) Qual a melhor taxa para aplicação? 1% a.m ou 12%a.a
5) A taxa nominal ao ano de uma operação de empréstimo:
a) Nunca indica o real custo da operação de empréstimo.
b) Sempre indica o real custo da operação de empréstimo.
c) Indica o real custo da operação de empréstimo apenas se esta tiver prazo de um mês.
d) Índice o real custo da operação de empréstimo apenas se a freqüência de capitalização for igual a 2.
6) Um capital de CR$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, o montante será de ?
Use: (1,07)1/3= 1,0228 / (1,07)7/3= 1,1709 / (1,0228)7= 1,1709
7) Calcule a taxa efetiva semestral correspondente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal ?
8) Determine a taxa efetiva trimestral correspondente a uma taxa nominal de 18% ao ano, com capitalização bimestral.
Use: (1,03)1,5= 1,0453
9) Qual a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano, com capitalização mensal?
Use: (1,005)12= 1,0617
10) Que taxa efetiva bimestral corresponde à taxa nominal de 9% ao trimestre, com capitalização mensal?
11) Considere uma empresa que precisa tomar um empréstimo de seis meses. A melhor alternativa é:
a) 24% ao ano de taxa nominal com capitalização semestral
b) 23% ao ano de taxa nominal com capitalização trimestral
c) 22% ao ano de taxa nominal com capitalização bimensal
d) 21% ao ano de taxa nominal com capitalização mensal
12) José e Maria estão discutindo sobre fazer um investimento pelos próximos 180 dias corridos. José conseguiu com seu gerente uma taxa nominal anual de 12% ao ano capitalizada bimestralmente, enquanto que Maria conseguiu uma
taxa efetiva anual de 12% ao ano. Qual a melhor alternativa?
a) Devem aplicar no banco de José.
b) Devem aplicar no banco de Maria.
c) Tanto faz, as duas alternativas geram o mesmo rendimento.
d) Devem aplicar 50% em cada alternativa.
13) Duas taxas de juro são ditas equivalentes quando:
(i) são taxas de juro compostas e
(ii) quando aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo período geram mesmo valor de juro.
a) (i) e (ii) são afirmações verdadeiras
b) (i) e (ii) são afirmações falsas
c) (i) é verdadeira e (ii) é falsa
d) (i) é falsa e (ii) é verdadeira
Gabarito:
1) 12,68% 2) 12% a.s. e 2% a.m.
3) 14% a.a.
4) 1% a.m 5) letra A 6) R$ 234,18
7) 12,62 % a.s.
8) 4,53 % a.t.
9) 6,17% a.a.
10) 6,09% a.b.
11) letra D
12) letra A 13) letra A
Proporcional;
Equivalente;
Nominal;
Efetiva;
Acumulada;
Real;
Aparente;
Over;
Média.
Taxas proporcionais: são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.
12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre;
1% ao mês é proporcional a 12% ao ano.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Qual é a taxa de juros mensal proporcional a taxa nominal de 12% a.a.?
12% : 12 meses = 1% a.m.
Obs.: Basta dividir a taxa nominal pelo período proporcional solicitado, que nesse caso foi mensal.
Taxas equivalentes: são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.
Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.
No regime de JUROS COMPOSTOS, todavia, as taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais.
Considere a seguinte situação: um indivíduo aplicou R$ 100,00
durante 1 ano, a uma taxa de 2% a.m., com capitalização mensal.
Vamos calcular o montante produzido no final do prazo.
C = 100
capitalização mensal
i = 2% a.m. = 0,02
t = 1 ano = 12 meses => n = 12
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,02)12
M = 100 . 1,268242
M = 126,82
Você percebeu que o capital, de 100 passou para um montante de
126,82? Houve, portanto, um aumento de 26,82%.
Se tivéssemos utilizado uma taxa de 26,82% a.a., capitalizada
ANUALMENTE, o montante seria de:
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,2682)1
M = 100 . 1,2682
M = 126,82
Uma vez que os montantes são iguais, podemos concluir que a taxa
de 2% ao mês é EQUIVALENTE, em juros compostos, à taxa de
26,82% ao ano.
O mais importante é notarmos que:
(1 + 0,02)12= (1 + 0,2682)1
Ou seja:
Duas taxas são equivalentes quando os seus fatores de capitalização
forem iguais ao mesmo prazo.
Esta é a grande dica na resolução de problemas envolvendo taxas
equivalentes. Quando se defrontar com um problema sobre taxas
equivalentes, você deve impor que os fatores de capitalização sejam iguais. E isto vale tanto para o regime de capitalização simples como para o regime de capitalização composta.
De fato, sabemos que, tanto para juros simples como juros
compostos, o montante (M) é dado pelo produto do capital (C) pelo fator de capitalização respectivo (an). Considere, então, duas taxas i1e i2, aplicadas sobre o mesmo capital C, durante o mesmo prazo t, produzindo os montantes M1e M2. Sejam an,1e an,2os respectivos fatores da acumulação de capital. Se i1e i2forem EQUIVALENTES,
teremos que:
M1= M2
C . an,1= C . an,2
an,1= an,2
Ou seja, os fatores de acumulação de capital an,1e an,2deverão ser
iguais.
Nós poderíamos ter fornecido a você uma fórmula para estabelecer
diretamente a equivalência entre uma taxa e outra. Não fizemos isso porque é perfeitamente possível resolver os problemas de
equivalência igualando os fatores de acumulação, e não queremos
que você fique com mais uma fórmula ocupando a sua cabeça.
Exercícios resolvidos
01- Calcular a taxa anual equivalente a uma taxa de 3% a.m. capitalizada mensalmente.
Resolução:
Se as taxas são equivalentes, seus fatores devem seriguais no prazo
de 1 ano. Segue que:
(1 + ianual)1= (1 + 0,03)12
O expoente do fator da taxa de 3% é igual a 12 porque, em 1 ano,
ocorrem 12 capitalizações mensais (a taxa é mensal). Já o expoente
da taxa “ianual” é igual a 1 porque, se a taxa é anual, em 1 ano ocorre apenas uma capitalização.
(1 + ianual) = 1,425760
ianual= 1,425760 – 1
ianual= 0,425760
ianual= 42,57% a.a.
Portanto a taxa de 3% a.m., capitalizada mensalmente,é equivalente à taxa de 42,57% a.a., capitalizada anualmente.
Em vez da taxa efetiva de 3% a.m., o problema poderia ter fornecido uma taxa nominal de 36% a.a. com capitalização mensal.
Resolveríamos do mesmo jeito, pois a taxa nominal de 36% a.a.
corresponde à taxa efetiva de 3% a.m. (basta usar o conceito de taxas proporcionais).
Taxa nominal:são taxas de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais,e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
12% ao ano, capitalizados mensalmente;
24% ao ano, capitalizados semestralmente;
10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
18% ao ano, capitalizados diariamente.
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples.
Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida o regime de juros simples. A taxa anual equivalente
a essa taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que lhe deu
origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros
compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o número de períodos de capitalização da taxa nominal.
Taxa efetiva: são taxas de juros em que a unidade referencial de sue tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:
2% ao mês, capitalizados mensalmente;
3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
10% ao ano, capitalizados anualmente.
Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano.
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções
financeiras das planilhas eletrônicas.
A TAXA EFETIVA é a taxa verdadeiramente paga em uma aplicação.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01- Calcular a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 40% a.a. com capitalização trimestral.
Resolução:
Iea= taxa efetiva anual = ?
capitalização trimestral
in= 40% a.a. (taxa nominal) => ief(taxa efetiva trimestral) = 10% a.t. = 0,10 a.t.
t = 1 ano = 4 trimestres
(1 + iea)1= (1 + 0,10)4
1 + iea= 1,4641
iea= 0,4641
iea= 46,41% a.a.
02- Considerando-se regime de juros compostos, qual é a taxa mensal capitalizada mensalmente equivalente a uma taxa de 34%a.s.?
Resolução:
Queremos uma taxa mensal imque, em 6 meses, produza uma taxa
de 34%. Em 6 meses a taxa mensal terá 6 capitalizações e a taxa semestral, 1 capitalização.
34% a.s. = 0,34 a.s.
(1 + im)6= (1 + 0,34)
(1 + im)6= 1,34
Normalmente você deveria extrair a raiz sexta de 1,34 e isolar o im. Se o examinador fornecer a raiz sexta de 1,34, que é1,04998, o
cálculo torna-se fácil:
1 + im= 1,04998
im= 1,04998 – 1 = 0,04998 = 4,99% => 5%
Embora pouco provável, pode ser que, ao invés de fornecer a raiz
sexta 1,34, ele dê os seguintes dados pra você:
log 1,34 = 0,12710479
10
0,02118413= 1,04998
Este tipo de dado sugere que devemos aplicar logaritmo nos dois
lados da equação anterior, para calcular o valor dataxa mensal.
Ficaria assim:
log (1 + im)6= log 1,34
6 . log (1 + im) = log 1,34
log (1 + im) = log 1,34/6
log (1 + im) = 0,12710479/6 = 0,02118413
(1 + im) = 10
0,02118413
1 + im= 1,04998
im= 0,04998 = 4,9998% = 5%
Se na prova não for fornecida tabela de logaritmo e nem for
permitido o uso de máquina de calcular (e isto é o que tem ocorrido
mais frequentemente), a alternativa será entrar na tabela financeira
determinando qual é a taxa, para n = 6, que produziria um fator de
acumulação igual 1,34. É simples. Basta seguir com osolhos a linha
n = 6 e localizar a célula que contém o valor mais próximo possível
de 1,34. Se você procurar, vai encontrar uma célula com o valor
1,340096, cuja taxa correspondente é de 5%. Portanto, im= 5% a.m.
É evidente que, neste caso, o examinador tem que dar uma
mãozinha, fornecendo um fator fácil de procurar na tabela, senão
fica inviável a resolução da expressão acima.
taxa acumulada: são taxas de juros com taxas variáveis e normalmente são utilizadas em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
A composição das taxas pode ocorrer de duas formas,com taxas positivas ou com taxas negativas.
taxa real: nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uma aplicação financeira rendeu 10% em um determinado período de tempo, e no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%. Qual a taxa real de juros?
Fica claro que o ganho real desta aplicação não foi os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo período de tempo.
Assim, para calcular a taxa real, devemos dividir ataxa maior acrescida de uma unidade pela taxa menor acrescida de uma unidade e, após a divisão, subtrair uma unidade, usando a fórmula: ir = (1 + i>):(1 + i<) – 1
i> = 10% = 0,10
i< = 8% = 0,08
ir = (1 + 0,10):( 1 + 0,08) – 1
ir = 1,10 : 1,08 – 1
ir = 1,01851 – 1
ir = 0,01851 ou 1,85%
taxa aparente: é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação.
Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais.
( 1 + ia) = (1 + ir).(1 + i inf)
taxa over: é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão do mercado financeiro). Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento.
Esta prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 90. Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos as operações de CDIs – Certificados de Depósitos Interbancários.
taxa média:tem como base teórica o conceito estatístico da média
geométrica.
Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de um conjunto de taxas extraindo a raiz enésima, tomando-se como base o número de termos do próprio conjunto de taxas.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TAXAS DE JUROS
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO TAXAS DE JUROS
(Proporcional, Nominal, Efetiva, Equivalente, Real e Aparente)
1) Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% a. m.?
2) Determinar as taxas semestral e mensal, proporcionais à taxa de 24% ao ano.
3) Qual é a taxa proporcional ao ano de uma taxa de3,5% ao trimestre?
4) Qual a melhor taxa para aplicação? 1% a.m ou 12%a.a
5) A taxa nominal ao ano de uma operação de empréstimo:
a) Nunca indica o real custo da operação de empréstimo.
b) Sempre indica o real custo da operação de empréstimo.
c) Indica o real custo da operação de empréstimo apenas se esta tiver prazo de um mês.
d) Índice o real custo da operação de empréstimo apenas se a freqüência de capitalização for igual a 2.
6) Um capital de CR$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, o montante será de ?
Use: (1,07)1/3= 1,0228 / (1,07)7/3= 1,1709 / (1,0228)7= 1,1709
7) Calcule a taxa efetiva semestral correspondente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal ?
8) Determine a taxa efetiva trimestral correspondente a uma taxa nominal de 18% ao ano, com capitalização bimestral.
Use: (1,03)1,5= 1,0453
9) Qual a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano, com capitalização mensal?
Use: (1,005)12= 1,0617
10) Que taxa efetiva bimestral corresponde à taxa nominal de 9% ao trimestre, com capitalização mensal?
11) Considere uma empresa que precisa tomar um empréstimo de seis meses. A melhor alternativa é:
a) 24% ao ano de taxa nominal com capitalização semestral
b) 23% ao ano de taxa nominal com capitalização trimestral
c) 22% ao ano de taxa nominal com capitalização bimensal
d) 21% ao ano de taxa nominal com capitalização mensal
12) José e Maria estão discutindo sobre fazer um investimento pelos próximos 180 dias corridos. José conseguiu com seu gerente uma taxa nominal anual de 12% ao ano capitalizada bimestralmente, enquanto que Maria conseguiu uma
taxa efetiva anual de 12% ao ano. Qual a melhor alternativa?
a) Devem aplicar no banco de José.
b) Devem aplicar no banco de Maria.
c) Tanto faz, as duas alternativas geram o mesmo rendimento.
d) Devem aplicar 50% em cada alternativa.
13) Duas taxas de juro são ditas equivalentes quando:
(i) são taxas de juro compostas e
(ii) quando aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo período geram mesmo valor de juro.
a) (i) e (ii) são afirmações verdadeiras
b) (i) e (ii) são afirmações falsas
c) (i) é verdadeira e (ii) é falsa
d) (i) é falsa e (ii) é verdadeira
Gabarito:
1) 12,68% 2) 12% a.s. e 2% a.m.
3) 14% a.a.
4) 1% a.m 5) letra A 6) R$ 234,18
7) 12,62 % a.s.
8) 4,53 % a.t.
9) 6,17% a.a.
10) 6,09% a.b.
11) letra D
12) letra A 13) letra A
CONCURSO DA CEF 2014 - MATEMÁTICA FINANCEIRA - JUROS COMPOSTOS
JUROS COMPOSTOS
O juro composto é o mais utilizado pelo sistema financeiro, lojas e
comércio em geral. Os juros gerados a cada período são
incorporados ao capital para formação de novos juros, ou seja ,
“juros sobre juros”.
Vamos a um exemplo:
Você aplicou R$ 1.000,00 em uma instituição financeira a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizados mensalmente, durante 3 meses.
Vamos calcular o montante M3no final desse prazo.
Temos que:
C = 1.000
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 3 (capitalização mensal)
Então, o montante M1no final do primeiro período será dado por:
M1= 1.000
M1= 1.000 . 1,02
M1= 1.020
O montante M2 no final do segundo período será dado por:
M2= 1.020 (1 + 0,02)
M2= 1061,21
O montante M3no final do terceiro período será dado por:
M3= 1.040,40 (1 + 0,02)
M3= 1.061,21
Verifique que montante do primeiro período foi utilizado para o
cálculo do juro do segundo período e assim sucessivamente.
Fórmula do Montante a Juros Compostos
Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a uma taxa de juros compostos i ao período.
Calculemos o montante Mnno final dos n períodos utilizando o
mesmo processo do exemplo anterior, ou seja, período a período.
M1= C(1 + i)
M2= M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2
M3= M2(1 + i) = C(1 + i)2
. (1 + i) = C(1 + i)3
Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica:
M1= C(1 + i)
Para o montante do segundo período, encontramos:
M2= C(1 + i)2
Para o montante do terceiro,
M3= C(1 + i)3
É facil concluir que a fórmula do montante do enésimo período será:
Mn= C(1 + i)n
O fator (1 + i)n
é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO
CAPITAL para JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR DE
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, sendo frequentemente indicado pela letra an. Como vimos anteriormente, ele guarda alguma semelhança com o fator de acumulação de capital para JUROS SIMPLES, dado pela expressão (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos, o montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação.
A fórmula dos juros compostos acumulados no final do prazo é
obtida a partir da fórmula geral de juros, conforme segue:
J = M – C
J = C(1 + i)n– C
Colocando C em evidência, obtemos:
Jn= C [ (1+ i)n– 1]
Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos?
Essa dúvida é frequente quando iniciamos o estudo damatemática
financeira.
Existem determinadas expressões que indicam o regime de
capitalização composta, tais como:
juros compostos
capitalização composta
montante composto
taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com
capitalização anual)
taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente(indica juros
compostos com capitalização a cada bimestre)
A principal diferença entre o regime simples e o composto,
entretanto, é que, em juros compostos, é necessário que saibamos,
através do enunciado do problema, o período das capitalizações.
Em juros simples podíamosescolhero período de capitalização que
nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderíamos transformar a taxa para mensal(2% a.m.) e usar o prazo em meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual.Em juros compostos não podemos fazer isso,
pois o problema dirá como devemos CAPITALIZAR A TAXA,ou
seja, se os períodos serão mensais, anuais etc.
Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela deve ser CAPITALIZADA ou COMPOSTA.
Se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa, devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.
Exemplos:
dada uma taxa de 48% ao anoCAPITALIZADA
MENSALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa igual a
4% ao mês.
dada a taxa de 48% ao anoCAPITALIZADA
SEMESTRALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa de
24% ao semestre.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS COMPOSTOS
01- Uma pessoa faz uma aplicação no valor de 10.000 durante 11 meses, a uma taxa de juros de 5% a.m. capitalizados mensalmente. Calcular o montante no final do prazo.
Resolução:
C = 10.000
prazo (t) = 11 meses; como a capitalização é mensal,
n = 11
i = 5% a.m. = 0,05 a.m.
M = C (1 + i)n
M = 10.000 (1 + 0,05)11
Obs.:
O problema está em calcular o fator de acumulação do capital que
normalmente é dado pelo examinador da seguinte forma:
a) no início da prova; exemplo: (1,05)11= 1,7103; ou
b) por meio de uma tabela financeira.
Voltando ao cálculo do montante:
M = 10.000 . 1,710339 (você deve utilizar todas as casas decimais
fornecidas para o fator)
M = 17.103,39
02- Calcular o montante de um capital de R$ 100,00 aplicado a juros compostos de 60% a.a., capitalizados mensalmente, durante um ano.
Resolução:
Temos que:
C = 100
i = 60% a.a. capitalizados mensalmente
prazo de aplicação (t) = 1 ano = 12 meses
Este exemplo traz uma novidade importantíssima. Como já dissemos anteriormente, em juros compostos é fundamental que se diga qual o PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO dos juros. Vimos, também, que nem sempre ele coincide com a periodicidade da taxa. Neste exercício, por exemplo, a taxa é anual mas a capitalização é mensal.
Precisamos determinar, a partir da taxa dada, uma outra taxa que
tenha periodicidade idêntica ao período da capitalização, e fazemos
isto, como já foi dito, utilizando o conceito de TAXAS
PROPORCIONAIS.
No nosso exemplo, a taxa é de 60% a.a., com capitalização mensal;
logo, considerando que um ano tem doze meses, a taxa proporcional mensal será um doze avos da taxa nominal, ou seja: i =60% a.a. = 5% a.m. = 0,05 a.m.
Neste caso, dizemos que a taxa de juros de 60% a.a. fornecida é uma TAXA NOMINAL. A taxa nominal tem a desvantagem de não poder ser introduzida diretamente na fórmula do montante composto, pois possui período diferente do da capitalização.
Outro cuidado que você deve tomar é com o PRAZO. Da mesma
forma que a periodicidade da taxa, o prazo de aplicação também
deve estar expresso na mesma unidade de medida de tempodo
período de capitalização. Assim, se a capitalização é mensal, o prazo tem que ser expresso em meses, se a capitalização é trimestral, o prazo tem que ser expresso em trimestres,etc.
No prazo de um ano fornecido no enunciado do exercício, temos 12 períodos mensais, logo n = 12.
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,05)12
Com base em tabelas fornecidas, iremos verificar que, para i = 5% e
n = 12,
(1 + 0,05)12= 1,795856
Logo,
M = 100 . 1,795856
M = R$ 179,59
Comparando:
a) Se em vez de juros COMPOSTOS, o problema anterior fosse de
juros SIMPLES, de quanto seria o montante?
Resposta: seria de R$ 160,00.
Por quê?
Porque o montante de um capital igual a R$ 100,00 aplicado a juros simples de 60% a.a. durante um ano é dado por:
M = C (1 + in)
M = 100 (1 + 0,60 . 1) = 160,00
Por que o montante a juros compostos é maior?
Porque a cada mês o juro é adicionado ao capital, produzindo um
montante que será utilizado para calcular o juro do período seguinte.
Portanto, calculamos jurossobre juros.
b) Veja que, apesar de a taxa nominal ser igual a 60% a.a., o capital, em um ano, aumentou de 79,59%, pois passou de 100,00 para 179,59. Daí se conclui que a taxa nominal (60% a.a.)é apenas uma taxa de referência. Deve ser capitalizada de acordo com o período determinado pelo problema.
A taxa produzida na capitalização da taxa nominal é chamada de
TAXA EFETIVA DE JUROS. Portanto uma taxa nominal de 60%
a.a., capitalizada mensalmente, produz uma taxa efetiva anual de
79,59%.
c) Outra coisa importante é que, para uma mesma taxa nominal, se
mudarmos o período de capitalização, a taxa efetiva também
mudará.
Imagine que, no nosso exemplo, a taxa continue a ser 60% a.a., mas com capitalização TRIMESTRAL. Neste caso, considerando-se que em um ano temos quatro trimestres, escrevemos que:
i = 15% a.t. = 0,15 a.t.
n = 4
O montante composto será dado por:
M = C(1 + i)n
M = 100(1 + 0,15)4
M = 100 x 1,749006
M = R$ 174,90
O montante foi menor porque diminuímos o número de
capitalizações (antes elas estavam sendo feitas a cada mês; agora, de três em três meses). A taxa efetiva nesse caso será igual a 74,90% a.a.
03- Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma taxa de 16% a.a., com capitalização semestral, durante 20 anos e 6 meses.
Resolução:
Como capitalização é semestral, é necessário transformar a taxa
anual em semestral e expressar o prazo em semestres .
C = 8.000
i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s.
t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41
M = C (1 + i)n
M = 8.000 (1 + 0,08)41
Caso não encontre o fator na tabela dada, o que fazer?
Simples, utilize o seu conhecimento sobre potências de mesma base:
(1 + 0,008)41= (1 + 0,008)30. (1 + 0,008)11
(1 + 0,008)41= 10,06266 . 2,331639 = 23,462490
M = 8.000 . 23,462490
M = 187.699,92
04- Calcular o capital e o juros que gerou um montante de R$
1.210,00 em 2 meses a uma taxa de juros nominal de 60% a.s.
capitalizados mensalmente no regime composto.
M = 1210
i = 60% a.s. = 10%a.m. = 0,10
n = 2 meses
C = ?
M = C(1 + i)n
Substituindo:
1210 = C.(1 + 0,10)²
1210 = C.(1,1)²
1210 = C.1,21
C = 1210/1,21
C = R$ 1.000,00
J = M – C
J = 1210 – 1000
J = R$ 210,00
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - JUROS COMPOSTOS
1)O montante de um capital igual a R$ 47.000,00, no fim de 1 ano,
com juros de 48% a.a., capitalizados semestralmente, é, em R$ e
desprezando os centavos:
a) 75.248,00
b) 82.010,00
c) 99.459,00
d) 81.576,00
e) 72.267,00
2)O juro pago, no caso do empréstimo de R$ 26.000,00,à taxa de
21% ao semestre, capitalizados bimestralmente, pelo prazo de 10
meses, é, em R$:
a) 10.466,35
b) 36.466,35
c) 9.459,45
d) 12.459,68
e) 10.000,69
3)O montante composto de R$ 86.000,00, colocados a 4,5% a.m.,
capitalizados mensalmente, em 7 meses, é, em R$ e desprezando os
centavos:
a) 113.090,00
b) 115.368,00
c) 117.090,00
d) 129.459,00
e) 114.687,00
4)Qual é o capital que, aplicado a 2,5% a.m., capitalizados
trimestralmente, durante 15 meses, produz o montante de R$
50.000,00? (despreze os centavos)
a) R$ 36.363,00
b) R$ 33.586,00
c) R$ 30.854,00
d) R$ 34.820,00
e) R$ 30.584,00
5)Uma pessoa aplica R$ 680,00 à taxa de juros vigente no mercado
de 27,6% a.a., com capitalização mensal, durante dois anos.
Utilizando a tabela fornecida no final deste capítulo e o método de
interpolação linear, determine os juros proporcionados pela
aplicação ao final do prazo dado (despreze os centavos).
a) R$ 670,00
b) R$ 500,00
c) R$ 890,00
d) R$ 420,00
e) R$ 200,00
6)A taxa anual de juros equivalente a 3,5% a.m., capitalizados
mensalmente, é, aproximadamente, igual a:
a) 42%
b) 35%
c) 0,50%
d) 51%
e) 10%
7)A taxa trimestral, equivalente a 21,55% a.a. capitalizados
anualmente, é, aproximadamente:
a) 5%
b) 7%
c) 8%
d) 9%
e) 10%
8)A taxa nominal anual aproximada, equivalente a uma taxa efetiva
de 60,1% a.a., é:
a) 60%
b) 48%
c) 4%
d) 56%
e) 39%
9)A taxa de juros mensal, capitalizada mensalmente, aproximada,
que fará um capital dobrar em 1 ano é, aproximadamente,igual a:
a) 8%
b) 7%
c) 5%
d) 9%
e) 6%
10)As taxas efetivas anuais, aproximadas, cobradas nasseguintes
hipóteses:
1) taxa nominal 18% a.a., capitalização mensal;
2) taxa nominal 20% a.a., capitalização trimestral;
são iguais a, respectivamente:
a) 19,6% e 21,9%
b) 18,0% e 21,6%
c) 19,6% e 21,6%
d) 21,9% e 19,6%
e) 21,6% e 23,8%
11)(ESAF) A aplicação de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime
de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10%
a.m., resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:
a) de Cz$ 3.000,00
b) de Cz$ 13.000,00
c) inferior a Cz$ 13.000,00
d) superior a Cz$ 13.000,00
e) menor do que aquele que seria obtido pelo regimede juros
simples
12)(TCDF/94) Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00
à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá
gerar após 4 meses?
a) CR$ 140.410,00
b) CR$ 142.410,00
c) CR$ 144.410,00
d) CR$ 146.410,00
e) CR$ 148.410,00
13)(ESAF) Se para um mesmo capital, aplicado durante qualquer
período de tempo maior do que zero e a uma certa e a uma certa taxa
t, chamarmos:
M1: Montante calculado no regime de juros simples
M2: Montante calculado no regime de juros compostos pela
convenção exponencial
M3: Montante calculado no regime de juros compostos pela
convenção linear
Teremos:
a) M3> M1para qualquer t > a
b) M3= M1para qualquer 0 < t < 1
c) M3< M2para qualquer t > 0, desde que não seja inteiro
d) M3< M2quando t é inteiro
e) M2> M1para qualquer t > a
14)(ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente
durante 3 anos, na base de 10% a.a., seu montante final é de:
a) 30% superior ao capital inicial
b) 130% do valor do capital inicial
c) aproximadamente 150% do capital inicial
d) aproximadamente 133% do capital inicial
15)(CEB/94) A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de
juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$
80.000,00 durante 2 meses?
a) R$ 801,00
b) R$ 802,00
c) R$ 803,00
d) R$ 804,00
e) R$ 805,00
16)(BC/94) A taxa de 30% a.t., com capitalização mensal,
corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:
a) 20%
b) 21%
c) 22%
d) 23%
e) 24%
17)(BANESPA/85) Se você depositar R$ 150.000,00 em um banco
que lhe pague juros compostos de 6% a.a., quais serão,
respectivamente, os juros e o montante após 1 ano?
a) R$ 900,00 e R$ 150.900,00
b) R$ 6.000,00 e R$ 156.000,00
c) R$ 8.500,00 e R$ 158.500,00
d) R$ 9.000,00 e R$ 159.000,00
e) R$ 9.000,00 e R$ 160.000,00
18)(BANERJ/89) O montante produzido por R$ 10.000,00
aplicados a juros compostos, a 1% ao mês, durante 3 meses, é igual
a:
a) R$ 10.300,00
b) R$ 10.303,01
c) R$ 10.305,21
d) R$ 10.321,05
e) R$ 10.325,01
19)(BANESPA/85) Qual o montante de R$ 50.000,00, aplicado à
taxa de juros compostos à 3% a.m., por dois meses?
a) R$ 53.045,00
b) R$ 57.045,00
c) R$ 71.000,00
d) R$ 64.750,00
e) R$ 71.000,00
20)(CESGRANRIO/85) Uma pessoa deposita R$ 100.000,00 em
uma Caderneta de Poupança que rende 10% a cada mês. Se não fez
qualquer retirada, ao final de três meses, ela terána sua caderneta:
a) R$ 132.000,00
b) R$ 133.100,00
c) R$ 134.200,00
d) R$ 134.500,00
21)(CEDAE/91) Uma pessoa aplicou R$ 50.000,00 a juros
compostos, à taxa de 10% ao mês, durante 3 meses. Recebeu de juros
a seguinte quantia:
a) R$ 66.500,00
b) R$ 55.000,00
c) R$ 18.500,00
d) R$ 16.550,00
e) R$ 15.000,00
22)(BC) Numa financeira, os juros são capitalizados
trimestralmente. Quanto renderá de juros, ali, um capital de R$
145,00, em um ano, a uma taxa de 40% ao trimestre?
a) R$ 557.032,00
b) R$ 542.880,00
c) R$ 412.032,00
d) R$ 337.000,00
e) R$ 397.988,00
23)(BC) Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compostos, rendendo
7% a cada bimestre, quanto teremos após 3 anos?
a) R$ 25.000,00 x (1,70)6
b) R$ 25.000,00 x (1,07)18
c) R$ 25.000,00 x (0,93)3
d) R$ 25.000,00 x (0,07)18
e) R$ 25.000,00 x (0,70)18
24)(IRPJ/91) O capital de R$ 100.000,00, colocado a juros
compostos, capitalizados mensalmente, durante 8 meses, elevou-se
no final desse prazo a R$ 170.000,00. A taxa de juros, ao mês,
corresponde aproximadamente a:
(considere (170) 1/8= 1,068578)
a) 3,42%
b) 5,15%
c) 6,85%
d) 8,55%
e) 10,68%
25)(BANERJ/89) O capital de R$ 10.000,00 colocando a juros
compostos, capitalizados mensalmente, durante 8 meses, elevou-se
no final desse prazo a R$ 14.800,00. Com o auxílio de uma
calculadora eletrônica verifica-se que:
(1,48) 1/8= 1,050226
A taxa mensal de juros a que foi empregado esse capital vale,
aproximadamente:
a) 1,05%
b) 1,48%
c) 2,26%
d) 4,80%
e) 5,02%
26)(AA/90) A juros compostos, um capital C, aplicado a 3,6% ao
mês, quadruplicará no seguinte número aproximado de meses:
Dados: log 2 = 0,30103, log 1,01536
a) 30
b) 33
c) 36
d) 39
e) 42
27)(ALERJ/91) Um capital de R$ 100.000,00, aplicado a juros
compostos, à taxa de 3% ao mês, duplica de valor após um certo
número n que está compreendido ente:
Dados: log 2 = 0,30103, log 1,03 = 0,01283
a) 8 e 12
b) 12 e 16
c) 16 e 20
d) 20 e 24
e) 24 e 28
28)(BANERJ/89) Um capital foi colocado a juros compostos a uma
taxa semestral de 5%. A taxa anual equivalente a essa taxa semestral
corresponde a:
a) 10%
b) 10,05%
c) 10,15%
d) 10,25%
e) 10,75%
29)Um certo capital de R$ 100,00 transformou-se, após uma
aplicação a juros compostos, em R$ 6.400,00 com uma taxa de
100% a.a. Quantos anos se passaram?
a) 6 anos
b) 12 anos
c) 18 anos
d) 24 anos
e) 2 anos
30)(ALERJ/91) Um capital Cfoi aplicado, a juros compostos, a
uma taxa idada para um certo período. O montante no fim de n
períodos é M. O capital C pode ser determinado pela seguinte
expressão:
a) M (1 – i)n
b) M (1 + i)n
c) M/(1 – i)n
d) M/(1 + i)n
e) M [(1 + i)n– 1]
31)O valor que devo aplicar hoje, a juros capitalizados
bimestralmente de 3,5% ao mês, para obter R$ 22.410,00 de juros
ao fim de 1 ano e 4 meses é, em R$:
a) 30.531,91
b) 53.613,00
c) 48.734,47
d) 30.586,84
e) 33.730,09
32)Certo capital foi colocado a juros compostos a 32% a.a.,
capitalizados trimestralmente, durante 3 anos. Sabendo que rendeu
R$ 4.617,00 de juros, o montante obtido foi de, em R$
a) 3.041,42
b) 7.658,16
c) 6.890,05
d) 10.699,95
e) 4.809,32
33)O tempo necessário para que R$ 75.000,00 produza o montante
de R$ 155.712,00, à taxa de 22% a.a., com capitalização semestral, é de:
a) 10 semestres
b) 50 meses
c) 7 anos
d) 4 anos e 6 meses
e) 3 anos 6 meses
34)Qual o tempo necessário para que R$ 12.500,00 produzam R$
6.000,00 de juros a 24% ao ano capitalizados semestralmente?
(Sugestão: você chegará a uma equação exponencial; para resolvê-la, utilize os dados da tabela financeira para i = 12% na página 60 e faça uma interpolação linear)
a) 1 ano, 8 meses e 22 dias
b) 684 dias
c) 2 anos
d) 1 ano, 2 meses e 15 dias
e) 700 dias
35)Uma pessoa colocou 3/4 do seu capital a 20% a.a., capitalizados
semestralmente, e o restante a 12% a.s., capitalizados
trimestralmente. Sabendo-se que a primeira parcela proporcionou
R$ 60.769,10 de juros, o montante no final de 4 anosserá, em R$:
a) 113.908,54
b) 44.997,32
c) 167.475,30
d) 128.645,00
e) 158.905,24
36)O capital que durante 4 anos, colocado a 12% a.a.,capitalizados
bimestralmente, produz um juro de R$ 12.252,00 a mais do que
seria produzido com capitalizações semestrais é de, em R$:
a) 96.605,00
b) 666.660,00
c) 110.465,00
d) 839.800,74
e) 476.396,00
37)Uma importância no valor de R$ 2.823.774,00 foi dividida em 3
partes, de tal modo que, colocadas a 20% a.a., capitalizados
anualmente, produziram montantes iguais nas datas 2, 3, e 5 anos,
respectivamente. O valor da parcela que produziu o montante na
data 5 é aproximadamente igual a, em R$:
a) 1.170.700,93
b) 975.584,11
c) 849.000,12
d) 560.475,42
e) 677.488,96
38)Um capital foi colocado a 20% a.a., capitalizados
semestralmente, e outro a 18% a.a., capitalizados
quadrimestralmente. No fim de 2 anos os juros do primeiro capital
excederam de R$ 6.741,00 os juros do segundo. Sabendo que o
primeiro é R$ 10.000,00 maior que o segundo, um dos capitais, em
R$, é igual a:
a) 112.142,00
b) 73.459,00
c) 46.071,94
d) 58.349,00
e) 85.230,00
39)Uma pessoa depositou R$ 10.000,00 num banco, no dia
31/12/71, a juros 24% a.a., capitalizados semestralmente. A partir de 01/01/77 o banco reduziu sua taxa de juro para 22% a.a.,
capitalizados trimestralmente. O montante daquele depósito no dia
30/06/80 era:
a) 31.058,43
b) 48.586,70
c) 56.596,35
d) 65.722,58
e) 39.520,08
40)O montante no fim de 8 anos, do capital R$ 2.000,00,
colocando a juros compostos à taxa de 6,3% a.a., capitalizados
atualmente, é:
a) 2.848,35
b) 2.568,48
c) 2.508,94
d) 2.192,22
e) 3.260,58
41)Uma pessoa precisa de R$ 10.000,00 por dois anos. Oferecemlhe o dinheiro nas seguintes condições:
1) 5,5% a.a. compostos trimestralmente ou;
2) 5,5% a.a. compostos semestralmente, ou ainda;
3) 5,5% a.a. a juros simples
Podemos afirmar que:
a) a condição 1 é pior do que a 3
b) a condição 3 é melhor do que a 2
c) a condição 2 é melhor do que a 1
d) a condição 1 é melhor do que a 3
e) todas são iguais
42)A taxa nominal anual, com capitalizações semestrais,que
conduz à taxa efetiva de 40% a.a. é:
a) 34,12%
b) 11%
c) 28,95%
d) 36,64%
e) 30,67%
GABARITO
1E – 2A – 3C – 4D – 5B – 6D – 7A – 8B – 9E – 10C – 11D – 12D – 13B – 14D – 15B – 16B – 17D – 18B – 19A – 20B – 21D– 22C – 23B – 24C – 25E – 26D – 27D – 28D – 29A – 30D – 31A – 32B – 33E – 34A – 35E – 36D – 37E – 38C – 39D – 40E – 41D – 42D
O juro composto é o mais utilizado pelo sistema financeiro, lojas e
comércio em geral. Os juros gerados a cada período são
incorporados ao capital para formação de novos juros, ou seja ,
“juros sobre juros”.
Vamos a um exemplo:
Você aplicou R$ 1.000,00 em uma instituição financeira a uma taxa de juros de 2% a.m., capitalizados mensalmente, durante 3 meses.
Vamos calcular o montante M3no final desse prazo.
Temos que:
C = 1.000
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 3 (capitalização mensal)
Então, o montante M1no final do primeiro período será dado por:
M1= 1.000
M1= 1.000 . 1,02
M1= 1.020
O montante M2 no final do segundo período será dado por:
M2= 1.020 (1 + 0,02)
M2= 1061,21
O montante M3no final do terceiro período será dado por:
M3= 1.040,40 (1 + 0,02)
M3= 1.061,21
Verifique que montante do primeiro período foi utilizado para o
cálculo do juro do segundo período e assim sucessivamente.
Fórmula do Montante a Juros Compostos
Vamos supor a aplicação de um capital C, durante n períodos, a uma taxa de juros compostos i ao período.
Calculemos o montante Mnno final dos n períodos utilizando o
mesmo processo do exemplo anterior, ou seja, período a período.
M1= C(1 + i)
M2= M1(1 + i) = C(1 + i) . (1 + i) = C(1 + i)2
M3= M2(1 + i) = C(1 + i)2
. (1 + i) = C(1 + i)3
Veja que, para o montante do primeiro período, a expressão fica:
M1= C(1 + i)
Para o montante do segundo período, encontramos:
M2= C(1 + i)2
Para o montante do terceiro,
M3= C(1 + i)3
É facil concluir que a fórmula do montante do enésimo período será:
Mn= C(1 + i)n
O fator (1 + i)n
é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DO
CAPITAL para JUROS COMPOSTOS, ou ainda, FATOR DE
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA, sendo frequentemente indicado pela letra an. Como vimos anteriormente, ele guarda alguma semelhança com o fator de acumulação de capital para JUROS SIMPLES, dado pela expressão (1 + in). Tanto no regime de juros simples como no regime de juros compostos, o montante é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação.
A fórmula dos juros compostos acumulados no final do prazo é
obtida a partir da fórmula geral de juros, conforme segue:
J = M – C
J = C(1 + i)n– C
Colocando C em evidência, obtemos:
Jn= C [ (1+ i)n– 1]
Como saber se um problema é de juros simples ou juros compostos?
Essa dúvida é frequente quando iniciamos o estudo damatemática
financeira.
Existem determinadas expressões que indicam o regime de
capitalização composta, tais como:
juros compostos
capitalização composta
montante composto
taxa composta de X% a.a. (indica juros compostos com
capitalização anual)
taxa de X% a.m. capitalizados bimestralmente(indica juros
compostos com capitalização a cada bimestre)
A principal diferença entre o regime simples e o composto,
entretanto, é que, em juros compostos, é necessário que saibamos,
através do enunciado do problema, o período das capitalizações.
Em juros simples podíamosescolhero período de capitalização que
nos conviesse, por exemplo: se a taxa fosse de 24% a.a. e o prazo de 18 meses, poderíamos transformar a taxa para mensal(2% a.m.) e usar o prazo em meses, ou transformar prazo em anos (1,5 anos) e utilizar a taxa anual.Em juros compostos não podemos fazer isso,
pois o problema dirá como devemos CAPITALIZAR A TAXA,ou
seja, se os períodos serão mensais, anuais etc.
Normalmente, do lado da taxa deve vir a indicação de como ela deve ser CAPITALIZADA ou COMPOSTA.
Se o período das capitalizações não coincidir com o da taxa, devemos calcular a taxa para o período dado pela capitalização, utilizando o conceito de TAXAS PROPORCIONAIS.
Exemplos:
dada uma taxa de 48% ao anoCAPITALIZADA
MENSALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa igual a
4% ao mês.
dada a taxa de 48% ao anoCAPITALIZADA
SEMESTRALMENTE, devemos transformá-la em uma taxa de
24% ao semestre.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS COMPOSTOS
01- Uma pessoa faz uma aplicação no valor de 10.000 durante 11 meses, a uma taxa de juros de 5% a.m. capitalizados mensalmente. Calcular o montante no final do prazo.
Resolução:
C = 10.000
prazo (t) = 11 meses; como a capitalização é mensal,
n = 11
i = 5% a.m. = 0,05 a.m.
M = C (1 + i)n
M = 10.000 (1 + 0,05)11
Obs.:
O problema está em calcular o fator de acumulação do capital que
normalmente é dado pelo examinador da seguinte forma:
a) no início da prova; exemplo: (1,05)11= 1,7103; ou
b) por meio de uma tabela financeira.
Voltando ao cálculo do montante:
M = 10.000 . 1,710339 (você deve utilizar todas as casas decimais
fornecidas para o fator)
M = 17.103,39
02- Calcular o montante de um capital de R$ 100,00 aplicado a juros compostos de 60% a.a., capitalizados mensalmente, durante um ano.
Resolução:
Temos que:
C = 100
i = 60% a.a. capitalizados mensalmente
prazo de aplicação (t) = 1 ano = 12 meses
Este exemplo traz uma novidade importantíssima. Como já dissemos anteriormente, em juros compostos é fundamental que se diga qual o PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO dos juros. Vimos, também, que nem sempre ele coincide com a periodicidade da taxa. Neste exercício, por exemplo, a taxa é anual mas a capitalização é mensal.
Precisamos determinar, a partir da taxa dada, uma outra taxa que
tenha periodicidade idêntica ao período da capitalização, e fazemos
isto, como já foi dito, utilizando o conceito de TAXAS
PROPORCIONAIS.
No nosso exemplo, a taxa é de 60% a.a., com capitalização mensal;
logo, considerando que um ano tem doze meses, a taxa proporcional mensal será um doze avos da taxa nominal, ou seja: i =60% a.a. = 5% a.m. = 0,05 a.m.
Neste caso, dizemos que a taxa de juros de 60% a.a. fornecida é uma TAXA NOMINAL. A taxa nominal tem a desvantagem de não poder ser introduzida diretamente na fórmula do montante composto, pois possui período diferente do da capitalização.
Outro cuidado que você deve tomar é com o PRAZO. Da mesma
forma que a periodicidade da taxa, o prazo de aplicação também
deve estar expresso na mesma unidade de medida de tempodo
período de capitalização. Assim, se a capitalização é mensal, o prazo tem que ser expresso em meses, se a capitalização é trimestral, o prazo tem que ser expresso em trimestres,etc.
No prazo de um ano fornecido no enunciado do exercício, temos 12 períodos mensais, logo n = 12.
M = C (1 + i)n
M = 100 (1 + 0,05)12
Com base em tabelas fornecidas, iremos verificar que, para i = 5% e
n = 12,
(1 + 0,05)12= 1,795856
Logo,
M = 100 . 1,795856
M = R$ 179,59
Comparando:
a) Se em vez de juros COMPOSTOS, o problema anterior fosse de
juros SIMPLES, de quanto seria o montante?
Resposta: seria de R$ 160,00.
Por quê?
Porque o montante de um capital igual a R$ 100,00 aplicado a juros simples de 60% a.a. durante um ano é dado por:
M = C (1 + in)
M = 100 (1 + 0,60 . 1) = 160,00
Por que o montante a juros compostos é maior?
Porque a cada mês o juro é adicionado ao capital, produzindo um
montante que será utilizado para calcular o juro do período seguinte.
Portanto, calculamos jurossobre juros.
b) Veja que, apesar de a taxa nominal ser igual a 60% a.a., o capital, em um ano, aumentou de 79,59%, pois passou de 100,00 para 179,59. Daí se conclui que a taxa nominal (60% a.a.)é apenas uma taxa de referência. Deve ser capitalizada de acordo com o período determinado pelo problema.
A taxa produzida na capitalização da taxa nominal é chamada de
TAXA EFETIVA DE JUROS. Portanto uma taxa nominal de 60%
a.a., capitalizada mensalmente, produz uma taxa efetiva anual de
79,59%.
c) Outra coisa importante é que, para uma mesma taxa nominal, se
mudarmos o período de capitalização, a taxa efetiva também
mudará.
Imagine que, no nosso exemplo, a taxa continue a ser 60% a.a., mas com capitalização TRIMESTRAL. Neste caso, considerando-se que em um ano temos quatro trimestres, escrevemos que:
i = 15% a.t. = 0,15 a.t.
n = 4
O montante composto será dado por:
M = C(1 + i)n
M = 100(1 + 0,15)4
M = 100 x 1,749006
M = R$ 174,90
O montante foi menor porque diminuímos o número de
capitalizações (antes elas estavam sendo feitas a cada mês; agora, de três em três meses). A taxa efetiva nesse caso será igual a 74,90% a.a.
03- Calcular o montante de um capital de R$ 8.000,00 aplicado a uma taxa de 16% a.a., com capitalização semestral, durante 20 anos e 6 meses.
Resolução:
Como capitalização é semestral, é necessário transformar a taxa
anual em semestral e expressar o prazo em semestres .
C = 8.000
i = 16% a.a. (taxa nominal) => i = 8% a.s.
t = 20 anos e seis meses = 41 semestres => n = 41
M = C (1 + i)n
M = 8.000 (1 + 0,08)41
Caso não encontre o fator na tabela dada, o que fazer?
Simples, utilize o seu conhecimento sobre potências de mesma base:
(1 + 0,008)41= (1 + 0,008)30. (1 + 0,008)11
(1 + 0,008)41= 10,06266 . 2,331639 = 23,462490
M = 8.000 . 23,462490
M = 187.699,92
04- Calcular o capital e o juros que gerou um montante de R$
1.210,00 em 2 meses a uma taxa de juros nominal de 60% a.s.
capitalizados mensalmente no regime composto.
M = 1210
i = 60% a.s. = 10%a.m. = 0,10
n = 2 meses
C = ?
M = C(1 + i)n
Substituindo:
1210 = C.(1 + 0,10)²
1210 = C.(1,1)²
1210 = C.1,21
C = 1210/1,21
C = R$ 1.000,00
J = M – C
J = 1210 – 1000
J = R$ 210,00
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO - JUROS COMPOSTOS
1)O montante de um capital igual a R$ 47.000,00, no fim de 1 ano,
com juros de 48% a.a., capitalizados semestralmente, é, em R$ e
desprezando os centavos:
a) 75.248,00
b) 82.010,00
c) 99.459,00
d) 81.576,00
e) 72.267,00
2)O juro pago, no caso do empréstimo de R$ 26.000,00,à taxa de
21% ao semestre, capitalizados bimestralmente, pelo prazo de 10
meses, é, em R$:
a) 10.466,35
b) 36.466,35
c) 9.459,45
d) 12.459,68
e) 10.000,69
3)O montante composto de R$ 86.000,00, colocados a 4,5% a.m.,
capitalizados mensalmente, em 7 meses, é, em R$ e desprezando os
centavos:
a) 113.090,00
b) 115.368,00
c) 117.090,00
d) 129.459,00
e) 114.687,00
4)Qual é o capital que, aplicado a 2,5% a.m., capitalizados
trimestralmente, durante 15 meses, produz o montante de R$
50.000,00? (despreze os centavos)
a) R$ 36.363,00
b) R$ 33.586,00
c) R$ 30.854,00
d) R$ 34.820,00
e) R$ 30.584,00
5)Uma pessoa aplica R$ 680,00 à taxa de juros vigente no mercado
de 27,6% a.a., com capitalização mensal, durante dois anos.
Utilizando a tabela fornecida no final deste capítulo e o método de
interpolação linear, determine os juros proporcionados pela
aplicação ao final do prazo dado (despreze os centavos).
a) R$ 670,00
b) R$ 500,00
c) R$ 890,00
d) R$ 420,00
e) R$ 200,00
6)A taxa anual de juros equivalente a 3,5% a.m., capitalizados
mensalmente, é, aproximadamente, igual a:
a) 42%
b) 35%
c) 0,50%
d) 51%
e) 10%
7)A taxa trimestral, equivalente a 21,55% a.a. capitalizados
anualmente, é, aproximadamente:
a) 5%
b) 7%
c) 8%
d) 9%
e) 10%
8)A taxa nominal anual aproximada, equivalente a uma taxa efetiva
de 60,1% a.a., é:
a) 60%
b) 48%
c) 4%
d) 56%
e) 39%
9)A taxa de juros mensal, capitalizada mensalmente, aproximada,
que fará um capital dobrar em 1 ano é, aproximadamente,igual a:
a) 8%
b) 7%
c) 5%
d) 9%
e) 6%
10)As taxas efetivas anuais, aproximadas, cobradas nasseguintes
hipóteses:
1) taxa nominal 18% a.a., capitalização mensal;
2) taxa nominal 20% a.a., capitalização trimestral;
são iguais a, respectivamente:
a) 19,6% e 21,9%
b) 18,0% e 21,6%
c) 19,6% e 21,6%
d) 21,9% e 19,6%
e) 21,6% e 23,8%
11)(ESAF) A aplicação de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime
de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10%
a.m., resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado:
a) de Cz$ 3.000,00
b) de Cz$ 13.000,00
c) inferior a Cz$ 13.000,00
d) superior a Cz$ 13.000,00
e) menor do que aquele que seria obtido pelo regimede juros
simples
12)(TCDF/94) Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00
à taxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá
gerar após 4 meses?
a) CR$ 140.410,00
b) CR$ 142.410,00
c) CR$ 144.410,00
d) CR$ 146.410,00
e) CR$ 148.410,00
13)(ESAF) Se para um mesmo capital, aplicado durante qualquer
período de tempo maior do que zero e a uma certa e a uma certa taxa
t, chamarmos:
M1: Montante calculado no regime de juros simples
M2: Montante calculado no regime de juros compostos pela
convenção exponencial
M3: Montante calculado no regime de juros compostos pela
convenção linear
Teremos:
a) M3> M1para qualquer t > a
b) M3= M1para qualquer 0 < t < 1
c) M3< M2para qualquer t > 0, desde que não seja inteiro
d) M3< M2quando t é inteiro
e) M2> M1para qualquer t > a
14)(ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente
durante 3 anos, na base de 10% a.a., seu montante final é de:
a) 30% superior ao capital inicial
b) 130% do valor do capital inicial
c) aproximadamente 150% do capital inicial
d) aproximadamente 133% do capital inicial
15)(CEB/94) A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de
juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$
80.000,00 durante 2 meses?
a) R$ 801,00
b) R$ 802,00
c) R$ 803,00
d) R$ 804,00
e) R$ 805,00
16)(BC/94) A taxa de 30% a.t., com capitalização mensal,
corresponde a uma taxa efetiva bimestral de:
a) 20%
b) 21%
c) 22%
d) 23%
e) 24%
17)(BANESPA/85) Se você depositar R$ 150.000,00 em um banco
que lhe pague juros compostos de 6% a.a., quais serão,
respectivamente, os juros e o montante após 1 ano?
a) R$ 900,00 e R$ 150.900,00
b) R$ 6.000,00 e R$ 156.000,00
c) R$ 8.500,00 e R$ 158.500,00
d) R$ 9.000,00 e R$ 159.000,00
e) R$ 9.000,00 e R$ 160.000,00
18)(BANERJ/89) O montante produzido por R$ 10.000,00
aplicados a juros compostos, a 1% ao mês, durante 3 meses, é igual
a:
a) R$ 10.300,00
b) R$ 10.303,01
c) R$ 10.305,21
d) R$ 10.321,05
e) R$ 10.325,01
19)(BANESPA/85) Qual o montante de R$ 50.000,00, aplicado à
taxa de juros compostos à 3% a.m., por dois meses?
a) R$ 53.045,00
b) R$ 57.045,00
c) R$ 71.000,00
d) R$ 64.750,00
e) R$ 71.000,00
20)(CESGRANRIO/85) Uma pessoa deposita R$ 100.000,00 em
uma Caderneta de Poupança que rende 10% a cada mês. Se não fez
qualquer retirada, ao final de três meses, ela terána sua caderneta:
a) R$ 132.000,00
b) R$ 133.100,00
c) R$ 134.200,00
d) R$ 134.500,00
21)(CEDAE/91) Uma pessoa aplicou R$ 50.000,00 a juros
compostos, à taxa de 10% ao mês, durante 3 meses. Recebeu de juros
a seguinte quantia:
a) R$ 66.500,00
b) R$ 55.000,00
c) R$ 18.500,00
d) R$ 16.550,00
e) R$ 15.000,00
22)(BC) Numa financeira, os juros são capitalizados
trimestralmente. Quanto renderá de juros, ali, um capital de R$
145,00, em um ano, a uma taxa de 40% ao trimestre?
a) R$ 557.032,00
b) R$ 542.880,00
c) R$ 412.032,00
d) R$ 337.000,00
e) R$ 397.988,00
23)(BC) Se aplicarmos R$ 25.000,00 a juros compostos, rendendo
7% a cada bimestre, quanto teremos após 3 anos?
a) R$ 25.000,00 x (1,70)6
b) R$ 25.000,00 x (1,07)18
c) R$ 25.000,00 x (0,93)3
d) R$ 25.000,00 x (0,07)18
e) R$ 25.000,00 x (0,70)18
24)(IRPJ/91) O capital de R$ 100.000,00, colocado a juros
compostos, capitalizados mensalmente, durante 8 meses, elevou-se
no final desse prazo a R$ 170.000,00. A taxa de juros, ao mês,
corresponde aproximadamente a:
(considere (170) 1/8= 1,068578)
a) 3,42%
b) 5,15%
c) 6,85%
d) 8,55%
e) 10,68%
25)(BANERJ/89) O capital de R$ 10.000,00 colocando a juros
compostos, capitalizados mensalmente, durante 8 meses, elevou-se
no final desse prazo a R$ 14.800,00. Com o auxílio de uma
calculadora eletrônica verifica-se que:
(1,48) 1/8= 1,050226
A taxa mensal de juros a que foi empregado esse capital vale,
aproximadamente:
a) 1,05%
b) 1,48%
c) 2,26%
d) 4,80%
e) 5,02%
26)(AA/90) A juros compostos, um capital C, aplicado a 3,6% ao
mês, quadruplicará no seguinte número aproximado de meses:
Dados: log 2 = 0,30103, log 1,01536
a) 30
b) 33
c) 36
d) 39
e) 42
27)(ALERJ/91) Um capital de R$ 100.000,00, aplicado a juros
compostos, à taxa de 3% ao mês, duplica de valor após um certo
número n que está compreendido ente:
Dados: log 2 = 0,30103, log 1,03 = 0,01283
a) 8 e 12
b) 12 e 16
c) 16 e 20
d) 20 e 24
e) 24 e 28
28)(BANERJ/89) Um capital foi colocado a juros compostos a uma
taxa semestral de 5%. A taxa anual equivalente a essa taxa semestral
corresponde a:
a) 10%
b) 10,05%
c) 10,15%
d) 10,25%
e) 10,75%
29)Um certo capital de R$ 100,00 transformou-se, após uma
aplicação a juros compostos, em R$ 6.400,00 com uma taxa de
100% a.a. Quantos anos se passaram?
a) 6 anos
b) 12 anos
c) 18 anos
d) 24 anos
e) 2 anos
30)(ALERJ/91) Um capital Cfoi aplicado, a juros compostos, a
uma taxa idada para um certo período. O montante no fim de n
períodos é M. O capital C pode ser determinado pela seguinte
expressão:
a) M (1 – i)n
b) M (1 + i)n
c) M/(1 – i)n
d) M/(1 + i)n
e) M [(1 + i)n– 1]
31)O valor que devo aplicar hoje, a juros capitalizados
bimestralmente de 3,5% ao mês, para obter R$ 22.410,00 de juros
ao fim de 1 ano e 4 meses é, em R$:
a) 30.531,91
b) 53.613,00
c) 48.734,47
d) 30.586,84
e) 33.730,09
32)Certo capital foi colocado a juros compostos a 32% a.a.,
capitalizados trimestralmente, durante 3 anos. Sabendo que rendeu
R$ 4.617,00 de juros, o montante obtido foi de, em R$
a) 3.041,42
b) 7.658,16
c) 6.890,05
d) 10.699,95
e) 4.809,32
33)O tempo necessário para que R$ 75.000,00 produza o montante
de R$ 155.712,00, à taxa de 22% a.a., com capitalização semestral, é de:
a) 10 semestres
b) 50 meses
c) 7 anos
d) 4 anos e 6 meses
e) 3 anos 6 meses
34)Qual o tempo necessário para que R$ 12.500,00 produzam R$
6.000,00 de juros a 24% ao ano capitalizados semestralmente?
(Sugestão: você chegará a uma equação exponencial; para resolvê-la, utilize os dados da tabela financeira para i = 12% na página 60 e faça uma interpolação linear)
a) 1 ano, 8 meses e 22 dias
b) 684 dias
c) 2 anos
d) 1 ano, 2 meses e 15 dias
e) 700 dias
35)Uma pessoa colocou 3/4 do seu capital a 20% a.a., capitalizados
semestralmente, e o restante a 12% a.s., capitalizados
trimestralmente. Sabendo-se que a primeira parcela proporcionou
R$ 60.769,10 de juros, o montante no final de 4 anosserá, em R$:
a) 113.908,54
b) 44.997,32
c) 167.475,30
d) 128.645,00
e) 158.905,24
36)O capital que durante 4 anos, colocado a 12% a.a.,capitalizados
bimestralmente, produz um juro de R$ 12.252,00 a mais do que
seria produzido com capitalizações semestrais é de, em R$:
a) 96.605,00
b) 666.660,00
c) 110.465,00
d) 839.800,74
e) 476.396,00
37)Uma importância no valor de R$ 2.823.774,00 foi dividida em 3
partes, de tal modo que, colocadas a 20% a.a., capitalizados
anualmente, produziram montantes iguais nas datas 2, 3, e 5 anos,
respectivamente. O valor da parcela que produziu o montante na
data 5 é aproximadamente igual a, em R$:
a) 1.170.700,93
b) 975.584,11
c) 849.000,12
d) 560.475,42
e) 677.488,96
38)Um capital foi colocado a 20% a.a., capitalizados
semestralmente, e outro a 18% a.a., capitalizados
quadrimestralmente. No fim de 2 anos os juros do primeiro capital
excederam de R$ 6.741,00 os juros do segundo. Sabendo que o
primeiro é R$ 10.000,00 maior que o segundo, um dos capitais, em
R$, é igual a:
a) 112.142,00
b) 73.459,00
c) 46.071,94
d) 58.349,00
e) 85.230,00
39)Uma pessoa depositou R$ 10.000,00 num banco, no dia
31/12/71, a juros 24% a.a., capitalizados semestralmente. A partir de 01/01/77 o banco reduziu sua taxa de juro para 22% a.a.,
capitalizados trimestralmente. O montante daquele depósito no dia
30/06/80 era:
a) 31.058,43
b) 48.586,70
c) 56.596,35
d) 65.722,58
e) 39.520,08
40)O montante no fim de 8 anos, do capital R$ 2.000,00,
colocando a juros compostos à taxa de 6,3% a.a., capitalizados
atualmente, é:
a) 2.848,35
b) 2.568,48
c) 2.508,94
d) 2.192,22
e) 3.260,58
41)Uma pessoa precisa de R$ 10.000,00 por dois anos. Oferecemlhe o dinheiro nas seguintes condições:
1) 5,5% a.a. compostos trimestralmente ou;
2) 5,5% a.a. compostos semestralmente, ou ainda;
3) 5,5% a.a. a juros simples
Podemos afirmar que:
a) a condição 1 é pior do que a 3
b) a condição 3 é melhor do que a 2
c) a condição 2 é melhor do que a 1
d) a condição 1 é melhor do que a 3
e) todas são iguais
42)A taxa nominal anual, com capitalizações semestrais,que
conduz à taxa efetiva de 40% a.a. é:
a) 34,12%
b) 11%
c) 28,95%
d) 36,64%
e) 30,67%
GABARITO
1E – 2A – 3C – 4D – 5B – 6D – 7A – 8B – 9E – 10C – 11D – 12D – 13B – 14D – 15B – 16B – 17D – 18B – 19A – 20B – 21D– 22C – 23B – 24C – 25E – 26D – 27D – 28D – 29A – 30D – 31A – 32B – 33E – 34A – 35E – 36D – 37E – 38C – 39D – 40E – 41D – 42D
CONCURSO DA CEF 2014 - MATEMÁTICA FINANCEIRA - JUROS SIMPLES
JUROS SIMPLES
I- CONCEITOS BÁSICOS
-Capital (C)– quantidade de dinheiro que será transacionada
-Juro (J)– remuneração pelo uso do capital
-Taxa de Juros (i)– relação entre os juros pagos e o capital num
intervalo de tempo chamado período
-Montante (M) – soma do capital com os juros no final do prazo
-Fluxo de Caixa– relação de entradas e saídas de dinheiro
- Regimes de Capitalização
Sistema de Capitalização Simples ou Juros Simples; o juro de
qualquer período é constante pois é sempre calculadosobre o
capital inicial.
Sistema de Capitalização Composta ou Juros Compostos; o
juro de cada período é calculado sobre o capital inicial mais os
juros acumulados até o período anterior.
Na resolução dos problemas é importante que a
PERIODICIDADE DA TAXA DE JUROS e o PRAZO de aplicação estejam expressos na mesma unidade de tempo.
II- JURO SIMPLES
O juros será simples quando incidir apenas sobre o valor do capital
inicial. Nos períodos subsequentes, os juros não serão acrescidos
de novos juros.Capital inicial ou valor principal é o valor
inicialmente considerado na transação, antes de somarmos os
juros. Suas fórmulas são:
J = C . i . t
M = C + J
M = C + C.i.t
Observe que no lado direito do sinal de igual há um fator comum, a
variável C, que pode ser colocada em evidência, ficando a fórmula
com o seguinte aspecto:
M = C ( 1 + it)
O fator (1 + it) é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE
CAPITAL para juros simples.
Para calcular o montante a juros simples, basta multiplicar o capital
C pelo fator de acumulação de capital (1 + it).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS SIMPLES
01. Calcular o montante produzido por um capital de R$ 10.ooo,00
aplicado a uma taxa de juros de 4% a.a, pelo prazo de 1,5 anos.
dados:
M = ?
C = 10000
i = 4% a.a. = 0,04 a.a.
t (prazo) = 1,5 anos
lembrando:
J = C.i.t
M = C + J
No exemplo apresentado, a unidade de tempo adotada para medir a
periodicidade da taxa de juros é igual a do prazo . Então podemos
escrever diretamente que t = 1,5.
J = C. i. t
J = 10000 . 0,04 . 1,5
J = 600
M = C + J
M = 10000 + 600
M = R$ 10.600,00
Poderíamos calcular o montante diretamente utilizando a fórmula:
M = C (1 + it). O resultado é o mesmo:
M = 10000 (1 + 0,04 . 1,5)
M = 6000 . 1,06
M = R$ 10.600,00
02. Calcular o montante produzido por um capital de R$ 10.000,00
durante 3 anos, considerando o regime de juros simples, a uma taxa
de 5% a.t.
Dados:
M =?
C = 10000
t = 3 anos
i = 5% a.t.
Observe que o prazo é anual e a taxa é trimestral. Para que possamos calcular os juros é necessário que adotemos a mesma unidade de tempo para a taxa de juros e para o prazo. Iremos converter a taxa, de trimestral para anual.
t = 3 anos
i = 5% a.t. = 20% a.a. ( 1 ano tem 4 trimestres e, portanto, 5% . 4 =
20% a.a.) = 0,20 a.a. lembrando:
M = C + J
J = C.i.t
M = C + C.i.t
substituindo os dados:
M = C + C.i.t
M = 10000 + 10000.0,20.3
M = 10000 + 6000
M = R$ 16.000,00
Taxas Proporcionais
Ao transformarmos, na resolução do exercício 2, a taxa de 5% a.t.
para 20% a.a., utilizamos o conceito de TAXAS DE JUROS
PROPORCIONAIS. Naquele contexto (regime de juros simples),
raciocinamos que 5% em um trimestre era a mesma coisa que 20%
em quatro trimestres. Observe que:
20%/4 trimestres = 5%/1 trimestre
Assim, duas taxas i1e i2, com os respectivos períodos n1e n2 medidos na mesma unidade de tempo, são ditas proporcionais quando obedecerem à seguinte relação:
i1/n1= i2/n2
Outros exemplos:
2% a.a. é proporcional a 1% a.m., pois 12%/12m = 1%/1m
10% a.s. é proporcional a 20% a.a., pois 10%/1s = 20%/2s
6% a.t. é proporcional a 2% a.m.,pois 6%/3m = 2%/1m
36% a.a. é proporcional a 9% a.t., pois 36%/4t = 9%/1t
03- Uma dívida, no valor de 1.000, vencida em 01/02/12, será paga em 10/03/12, no sistema de capitalização simples, a uma taxa de juros comercial (1 ano = 360 dias e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro) de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros pagos:
dados:
J = ?
i = 36% a.a. = 0,1% a.d.= 0,001 a.d.
t = número de dias entre 01/02/12 e 10/03/12 = 40 dias ( 30 dias de
janeiro + 10 dias de fevereiro, uma vez que o ano é o comercial)
C = 1.000
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo:
J = C.i.t
J = 1.000 . 0,001.40
J = R$ 40,00
OBSERVAÇÃO:
Para o cálculo dos juros existem três convenções utilizadas na
matemática financeira. O examinador deverá dizer qual delas
devemos utilizar. As convenções são: juro exato, juro comercial (ou ordinário) e juro bancário.
JURO EXATO
A contagem do número de dias (n) se faz utilizando oano civil
(aquele que é representado no calendário).
Portanto, dada uma taxa anual (ianual), os juros (J) produzidos por
um capital (C), durante n dias, serão dados por:
J = C . ianual. n/365
n = número de dias contados no calendário do ano civil.
Atenção:
. O número de dias (n) deve ser contado no calendário, portanto
você deve saber o número exato de dias de cada mês do calendário;
. Caso o ano seja bissexto , a divisão na expressãoacima será feita
por 366 e não por 365, já que o ano bissexto tem um dia a mais.
Aplicando juro exato ao exercício 03, os juros seriam:
J = 1000 . 0,36 . 41/366
J = 40,33
No denominador da expressão acima utilizamos o valor 366 porque
2012 é ano bissexto. O número n de dias entre 01/02/12 e 10/03/12
contados segundo o calendário civil é de 41 (31 dias de janeiro e 10 dias de fevereiro).
JURO COMERCIAL
A contagem do número de dias se faz utilizando o anocomercial (1
ano = 360 e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro).
Para o caso de juro comercial:
J = C . ianual. n/360
n = n
o de dias contados no calendário do ano comercial.
Aplicando ao nosso problema:
J = 1000 . 0,36 . 40/360
J = R$ 40,00
JURO BANCÁRIO
A contagem do número de dias (n) se faz pelo calendário ano civil,
mas o juro diário é calculado utilizando o ano comercial.
Para o caso do juro bancário:
J = C . ianual . n/360
n = n
o de dias contados no calendário do ano civil.
Aplicando ao problema 03, temos:
J = 1.000 . 0,36 . 41/360
J = R$ 41,00
CONCLUSÃO:
O juro bancário é o maior.
04- Qual o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 12% a.a., durante 4 meses, resultou em um montante de R$ 2.512,00?
dados:
C = ?
i = 12% a.a. = 1% a.m. = 0,01 a.m.
n = 4 meses
lembrando:
M = C + J
J = C.i.n
M = C + C.i.n
Substituindo os dados :
M = C + C.i.n
2.512 = C + C.0,01.4
2.512 = C + 0,04C
2.512 = 1,04C
2512/1,04 = C
C = 2.415,38
05- Qual a taxa de juros simples utilizada em um empréstimo de R$
3.200,00 cujo valor pago 3 meses após sua contratação foi de R$
3.800,00?
Dados:
i = ?
C = 3.200
M = 3.800
n = 3 meses
lembrando:
(*) M = C + C.i.n
Substituindo :
M = C + C.i.n
3800 = 3200 + 3200.i.3
3800 = 3200 + 9600.i
3800 – 3200 = 9600.i
600 = 9600.i
600/9600 = i
i = 0,0625 = 6,25% a.m.
06- Jorge emprestou de seu amigo Marcos R$ 4.000,00 e pagou
pelo empréstimo, R$ 325,00 de juros, a uma taxa de 2,5% a.m. no
regime de capitalização simples. Qual foi o período de empréstimo?
Dados:
C = 4000
J = 300
i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
t = ?
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo os dados:
300 = 4000.0,025.t
300 = 100.t
300/100 = t
t = 3 meses
07- Qual a taxa de juros simples que aplicada a um determinado capital durante 4 meses o duplicará?
Dados:
Capital = C
J =C
t = 4 meses
i = ?
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo:
J = C.i.t
C = C.i.4
C = 4.C.i
C/4.C = i
¼ = i
0,25 = 25% = i = 25% a.m.
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO - JUROS SIMPLES
1) O juro produzido por um capital de 5.000,00 aplicado à taxa de
juros simples de 6% a.a. durante 2 anos é igual a:
a) 500,00
b) 1.200,00
c) 1.000,00
d) 800,00
e) 600,00
2) O juro de uma aplicação de 1.000,00 em 18 meses, se a taxa de
juros é de 42% a.a. é de:
a) 720,00
b) 420,00
c) 756,00
d) 630,00
e) 1.200,00
3) A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a., para que se obtenha 1.000,00 no fim de 4 anos é:
a) 320,00
b) 543,47
c) 238,09
d) 570,00
e) 757,58
4) Um capital aplicado a 5% ao mês a juro simples, triplicará em:
a) 3 anos
b) 80 meses
c) 40 meses
d) 12 meses
e) 50meses
5) Um principal de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros simples
de 2,2% a.m., atingindo, depois de certo período, um montante
equivalente ao volume de juros gerados por outra aplicação, também a juros simples, de R$ 12.000,00 a 5% a.m. durante 1 ano. O prazo de aplicação do primeiro principal foi de:
a) 10 meses
b) 20 meses
c) 2 anos
d) 1,5 ano
e) 30 meses
6) A taxa de juros simples relativa a uma aplicação de R$ 10.000,00 por um período de 10 meses, que gera um montante de R$ 15.000,00 é de:
a) 48% a.a.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 100% a.a.
e) 5% a.m.
7) Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista ou 20% do
valor à vista, como entrada, e mais um pagamento de R$ 2.760,00
após 6 meses. A taxa de juros cobrada é de:
a) 30% a.a.
b) 1% a.d.
c) 3% a.m.
d) 360% a.a.
e) 12% a.a.
8) As taxas de juros ao ano, proporcionais às taxas25% a.t.; 18%
a.b.; 30% a.q. e 15% a.m., são, respectivamente:
a) 100%; 108%; 90%; 180%
b) 100%; 180%; 90%; 108%
c) 75%; 26%; 120%; 150%
d) 75%; 150%; 120%; 26%
e) 100%; 150%; 120%; 108%
9) As taxas de juros bimestrais equivalentes às taxas de 120% a.a.;
150% a.s.; 86% a.q. e 90% a.t. são respectivamente:
a) 40%; 100%; 86%; 120%
b) 60%; 43%; 50%; 20%
c) 20%; 50%; 43%; 60%
d) 120%; 86%; 100%; 40%
e) 20%; 43%; 50%; 60%
10) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 3.000,00. Que taxa equivalente
semestral recebeu?
a) 10%
b) 40%
c) 6,6%
d) 8,4%
e) 12%
11) Os juros simples comercial e exato das propostas abaixo
relacionadas são, respectivamente:
R$ 800,00 a 20% a.a., por 90 dias
R$ 1.100,00 a 27% a.a., por 135 dias
R$ 2.800,00 a 30% a.a., por 222 dias
a) 111,38 e 109,85; 518,00 e 510,90; 40,00 e 39,45
b) 40,00 e 39,45; 111,38 e 109,85; 518,00 e 519,90
c) 39,45 e 40,00; 109,85 e 111,38; 510,90 e 518,00
d) 40,00 e 39,95; 109,85 e 111,38; 518,00 e 510,90
e) 40,00 e 111,38; 39,45 e 109,85; 510,90 e 518,00
12) O juro simples exato do capital de R$ 33.000,00,colocado à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 1945 a 28 de maio do mesmo ano, foi de:
a) R$ 664,52
b) R$ 660,00
c) R$ 680,00
d) R$ 658,19
e) R$ 623,40
13) A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa dejuros de 42%
a.a., pelo prazo de 100 dias. O juro dessa aplicação se for
considerado juro comercial e juro exato, será, em R$,
respectivamente:
a) 175,00 e 172,12
b) 172,12 e 175,00
c) 175,00 e 172,60
d) 172,60 e 175,00
e) 170,00 e 175,00
14) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a. em 12 de fevereiro de 1996. Se o resgate for efetuado em 03 de maio de 1996, o juro comercial recebido pelo aplicador foi, em R$, de:
a) 138,89
b) 138,69
c) 140,26
d) 140,62
e) 142,60
15) Certa pessoa obteve um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 12% a.a. Algum tempo depois, tendo encontrado quem lhe emprestasse R$ 150.000,00 à taxa de juros simples de 11% a.a., liquidou a dívida inicial e, na mesma data, contraiu novo débito.
Dezoito meses depois de ter contraído o primeiro empréstimo,
saldou sua obrigação e verificou ter pago um total de R$ 22.500,00
de juros. Os prazos do primeiro e do segundo empréstimo são,
respectivamente:
a) 12 meses e 6 meses
b) 18 meses e 6 meses
c) 6 meses e 12 meses
d) 6 meses e 18 meses
e) 12 meses e 18 meses
16) João fez um depósito a prazo fixo por 2 anos. Decorrido o prazo, o montante, que era de R$ 112.000,00, foi reaplicado em mais um ano a uma taxa de juros 15% superior à primeira. Sendo o montante de R$ 137.760,00 e o regime de capitalização juros simples, o capital inicial era, em R$:
a) 137.760,00
b) 156.800,00
c) 80.000,00
d) 96.000,00
e) 102.000,00
17) O prazo em que um capital colocado à taxa de 5% a.a., rende um juro comercial igual a 1/50 de seu valor é igual a:
a) 144 dias
b) 146 dias
c) 150 dias
d) 90 dias
e) 80 dias
18) Uma pessoa sacou R$ 24.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito no final de 3 meses e pagar ao todo R$ 24.360,00.
A taxa de juro cobrada pelo uso daquele capital foide:
a) 4,06% a.a.
b) 6% a.a.
c) 4,5% a.a.
d) 8% a.a.
e) 1% a.m.
19) Um agricultor, possuidor de um estoque de 5.000 sacas de café,
na esperança de uma alta do produto, rejeita uma oferta de compra
desse estoque ao preço de R$ 80,00 a saca. Dois meses mais tarde,
forçado pelas circunstâncias, vende o estoque ao preço de R$ 70,00 a saca. Sabendo-se que a taxa corrente de juro é de 6% a.a., o prejuízo real do agricultor, em R$, foi de:
a) 350.000,00
b) 50.000,00
c) 54.000,00
d) 38.000,00
e) 404.000,00
20) A taxa de juros anual a que de ser colocado um capital para que produza 1/60 de seu valor em 4 meses é de:
a) 7,2%
b) 8%
c) 4%
d) 6%
e) 5%
21) Um negociante obteve R$ 100.000,00 de empréstimo à taxa de
7% a.a. Alguns meses depois, tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importância a 6% a.a., assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que pagou, ao todo, R$ 6.250,00 de juros.O prazo do primeiro empréstimo foi de?
a) 9 meses
b) 6 meses
c) 11 meses
d) 3 meses
e) 7 meses
22) Uma pessoa deposita num banco um capital que, no fim de 3
meses (na época do encerramento das contas), se eleva, juntamente com o juro produzido, a R$ 18.180,00. Este montante, rendendo juro à mesma taxa e na mesma conta, produz, no fim de 6 meses, outro montante de R$ 18.543,60. O capital inicial foi de, em R$:
a) 18.000,00
b) 16.000,00
c) 15.940,00
d) 17.820,00
e) 17.630,00
23) A taxa de juro do banco foi de:
a) 48% a.a.
b) 3% a.m.
c) 8% a.a.
d) 10% a.a.
e) 4% a.a.
24) O prazo para que o montante produzido por um capital de R$
1.920,00, aplicado a 25% a.a., se iguale a um outro montante
produzido por um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a.,
admitindo-se que os dois capitais sejam investidos namesma data, é
de:
a) 4 meses
b) 6 anos
c) 6 meses
d) 2 anos
e) 4 anos
25) Emprestei R$ 55.000,00, durante 120 dias, e recebi juros de R$
550,00. A taxa mensal aplicada foi de:
a) 2,5% a.m.
b) 25,25% a.m.
c) 2,25% a.m.
d) 0,25% a.m.
e) 4% a.m.
26) Uma pessoa deposita R$ 30.000,00 num banco que paga 4%
a.a. de juros, e receber, ao fim de certo tempo, juros iguais a 1/6 do
capital. O prazo de aplicação desse dinheiro foi de:
a) 60 meses
b) 80 meses
c) 50 meses
d) 4 anos
e) 2100 dias
27) Uma pessoa emprestou certo capital a 6% a.a. Depois de um ano
e meio retirou o capital e os juros e aplicou novamente o total, desta vez a 8% a.a. Sabendo que no fim de 2 anos e meio, após a segunda aplicação, veio a retirar o montante de R$ 26.160,00. O capital emprestado no início foi de, em R$:
a) 20.000,00
b) 21.800,00
c) 23.600,00
d) 19.000,00
e) 19.630,00
28) O capital que, aplicado a uma taxa de 3/4% a.m., produz R$
10,80 de juros anuais é, em R$:
a) 144,00
b) 97,20
c) 110,00
d) 90,00
e) 120,00
29) Um capital aumentado de seus juros durante 15 meses se elevou a R$ 264,00. Esse mesmo capital diminuído de seus juros durante 10 meses ficou reduzido a R$ 224,00. A taxa empregada foi de:
a) 18% a.a.
b) 8% a.a.
c) 1% a.m.
d) 0,5% a.m.
e) 0,01% a.d.
30) Certa pessoa emprega metade de seu capital jurossimples,
durante 2 anos, à taxa de 5% a.a. e metade durante 3anos, à taxa de 8% a.a., obtendo, assim, o rendimento total de R$ 2.040,00. O seu capital é de, em R$:
a) 6.000,00
b) 12.000,00
c) 14.000,00
d) 7.000,00
e) 12.040,00
31) A taxa mensal de um capital igual R$ 4.200,00, aplicado por 480 dias e que rendeu R$ 1.232,00 de juros é de:
a) 2,08%
b) 8.08%
c) 1,83%
d) 3,68%
e) 2,44%
32) (TTN/89) Os juros simples que um capital de 10.000,00 rende
em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a. o valor de:
a) 700,00
b) 1.000,00
c) 1.600,00
d) 600,00
e) 900,00
33) (TTN/89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12%
a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é de:
a) 1.100,00
b) 1.000,00
c) 1.392,00
d) 1.200,00
e) 1.399,68
34) (TTN/92) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se
obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por Cr$
400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?
a) Cr$ 420.000,00
b) Cr$ 450.000,00
c) Cr$ 480.000,00
d) Cr$ 520.000,00
e) Cr$ 500.000,00
Gabarito:
1E – 2D – 3E – 4C – 5B – 6E – 7A – 8A – 9C – 10A – 11B – 12B –
13C – 14D – 15C -16C – 17A – 18B – 19C – 20E – 21D – 22A – 23E –
24E – 25D – 26C – 27A – 28E – 29B – 30B – 31C – 32E– 33D –
34E
I- CONCEITOS BÁSICOS
-Capital (C)– quantidade de dinheiro que será transacionada
-Juro (J)– remuneração pelo uso do capital
-Taxa de Juros (i)– relação entre os juros pagos e o capital num
intervalo de tempo chamado período
-Montante (M) – soma do capital com os juros no final do prazo
-Fluxo de Caixa– relação de entradas e saídas de dinheiro
- Regimes de Capitalização
Sistema de Capitalização Simples ou Juros Simples; o juro de
qualquer período é constante pois é sempre calculadosobre o
capital inicial.
Sistema de Capitalização Composta ou Juros Compostos; o
juro de cada período é calculado sobre o capital inicial mais os
juros acumulados até o período anterior.
Na resolução dos problemas é importante que a
PERIODICIDADE DA TAXA DE JUROS e o PRAZO de aplicação estejam expressos na mesma unidade de tempo.
II- JURO SIMPLES
O juros será simples quando incidir apenas sobre o valor do capital
inicial. Nos períodos subsequentes, os juros não serão acrescidos
de novos juros.Capital inicial ou valor principal é o valor
inicialmente considerado na transação, antes de somarmos os
juros. Suas fórmulas são:
J = C . i . t
M = C + J
M = C + C.i.t
Observe que no lado direito do sinal de igual há um fator comum, a
variável C, que pode ser colocada em evidência, ficando a fórmula
com o seguinte aspecto:
M = C ( 1 + it)
O fator (1 + it) é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE
CAPITAL para juros simples.
Para calcular o montante a juros simples, basta multiplicar o capital
C pelo fator de acumulação de capital (1 + it).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS SIMPLES
01. Calcular o montante produzido por um capital de R$ 10.ooo,00
aplicado a uma taxa de juros de 4% a.a, pelo prazo de 1,5 anos.
dados:
M = ?
C = 10000
i = 4% a.a. = 0,04 a.a.
t (prazo) = 1,5 anos
lembrando:
J = C.i.t
M = C + J
No exemplo apresentado, a unidade de tempo adotada para medir a
periodicidade da taxa de juros é igual a do prazo . Então podemos
escrever diretamente que t = 1,5.
J = C. i. t
J = 10000 . 0,04 . 1,5
J = 600
M = C + J
M = 10000 + 600
M = R$ 10.600,00
Poderíamos calcular o montante diretamente utilizando a fórmula:
M = C (1 + it). O resultado é o mesmo:
M = 10000 (1 + 0,04 . 1,5)
M = 6000 . 1,06
M = R$ 10.600,00
02. Calcular o montante produzido por um capital de R$ 10.000,00
durante 3 anos, considerando o regime de juros simples, a uma taxa
de 5% a.t.
Dados:
M =?
C = 10000
t = 3 anos
i = 5% a.t.
Observe que o prazo é anual e a taxa é trimestral. Para que possamos calcular os juros é necessário que adotemos a mesma unidade de tempo para a taxa de juros e para o prazo. Iremos converter a taxa, de trimestral para anual.
t = 3 anos
i = 5% a.t. = 20% a.a. ( 1 ano tem 4 trimestres e, portanto, 5% . 4 =
20% a.a.) = 0,20 a.a. lembrando:
M = C + J
J = C.i.t
M = C + C.i.t
substituindo os dados:
M = C + C.i.t
M = 10000 + 10000.0,20.3
M = 10000 + 6000
M = R$ 16.000,00
Taxas Proporcionais
Ao transformarmos, na resolução do exercício 2, a taxa de 5% a.t.
para 20% a.a., utilizamos o conceito de TAXAS DE JUROS
PROPORCIONAIS. Naquele contexto (regime de juros simples),
raciocinamos que 5% em um trimestre era a mesma coisa que 20%
em quatro trimestres. Observe que:
20%/4 trimestres = 5%/1 trimestre
Assim, duas taxas i1e i2, com os respectivos períodos n1e n2 medidos na mesma unidade de tempo, são ditas proporcionais quando obedecerem à seguinte relação:
i1/n1= i2/n2
Outros exemplos:
2% a.a. é proporcional a 1% a.m., pois 12%/12m = 1%/1m
10% a.s. é proporcional a 20% a.a., pois 10%/1s = 20%/2s
6% a.t. é proporcional a 2% a.m.,pois 6%/3m = 2%/1m
36% a.a. é proporcional a 9% a.t., pois 36%/4t = 9%/1t
03- Uma dívida, no valor de 1.000, vencida em 01/02/12, será paga em 10/03/12, no sistema de capitalização simples, a uma taxa de juros comercial (1 ano = 360 dias e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro) de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros pagos:
dados:
J = ?
i = 36% a.a. = 0,1% a.d.= 0,001 a.d.
t = número de dias entre 01/02/12 e 10/03/12 = 40 dias ( 30 dias de
janeiro + 10 dias de fevereiro, uma vez que o ano é o comercial)
C = 1.000
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo:
J = C.i.t
J = 1.000 . 0,001.40
J = R$ 40,00
OBSERVAÇÃO:
Para o cálculo dos juros existem três convenções utilizadas na
matemática financeira. O examinador deverá dizer qual delas
devemos utilizar. As convenções são: juro exato, juro comercial (ou ordinário) e juro bancário.
JURO EXATO
A contagem do número de dias (n) se faz utilizando oano civil
(aquele que é representado no calendário).
Portanto, dada uma taxa anual (ianual), os juros (J) produzidos por
um capital (C), durante n dias, serão dados por:
J = C . ianual. n/365
n = número de dias contados no calendário do ano civil.
Atenção:
. O número de dias (n) deve ser contado no calendário, portanto
você deve saber o número exato de dias de cada mês do calendário;
. Caso o ano seja bissexto , a divisão na expressãoacima será feita
por 366 e não por 365, já que o ano bissexto tem um dia a mais.
Aplicando juro exato ao exercício 03, os juros seriam:
J = 1000 . 0,36 . 41/366
J = 40,33
No denominador da expressão acima utilizamos o valor 366 porque
2012 é ano bissexto. O número n de dias entre 01/02/12 e 10/03/12
contados segundo o calendário civil é de 41 (31 dias de janeiro e 10 dias de fevereiro).
JURO COMERCIAL
A contagem do número de dias se faz utilizando o anocomercial (1
ano = 360 e 1 mês = 30 dias, inclusive fevereiro).
Para o caso de juro comercial:
J = C . ianual. n/360
n = n
o de dias contados no calendário do ano comercial.
Aplicando ao nosso problema:
J = 1000 . 0,36 . 40/360
J = R$ 40,00
JURO BANCÁRIO
A contagem do número de dias (n) se faz pelo calendário ano civil,
mas o juro diário é calculado utilizando o ano comercial.
Para o caso do juro bancário:
J = C . ianual . n/360
n = n
o de dias contados no calendário do ano civil.
Aplicando ao problema 03, temos:
J = 1.000 . 0,36 . 41/360
J = R$ 41,00
CONCLUSÃO:
O juro bancário é o maior.
04- Qual o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 12% a.a., durante 4 meses, resultou em um montante de R$ 2.512,00?
dados:
C = ?
i = 12% a.a. = 1% a.m. = 0,01 a.m.
n = 4 meses
lembrando:
M = C + J
J = C.i.n
M = C + C.i.n
Substituindo os dados :
M = C + C.i.n
2.512 = C + C.0,01.4
2.512 = C + 0,04C
2.512 = 1,04C
2512/1,04 = C
C = 2.415,38
05- Qual a taxa de juros simples utilizada em um empréstimo de R$
3.200,00 cujo valor pago 3 meses após sua contratação foi de R$
3.800,00?
Dados:
i = ?
C = 3.200
M = 3.800
n = 3 meses
lembrando:
(*) M = C + C.i.n
Substituindo :
M = C + C.i.n
3800 = 3200 + 3200.i.3
3800 = 3200 + 9600.i
3800 – 3200 = 9600.i
600 = 9600.i
600/9600 = i
i = 0,0625 = 6,25% a.m.
06- Jorge emprestou de seu amigo Marcos R$ 4.000,00 e pagou
pelo empréstimo, R$ 325,00 de juros, a uma taxa de 2,5% a.m. no
regime de capitalização simples. Qual foi o período de empréstimo?
Dados:
C = 4000
J = 300
i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
t = ?
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo os dados:
300 = 4000.0,025.t
300 = 100.t
300/100 = t
t = 3 meses
07- Qual a taxa de juros simples que aplicada a um determinado capital durante 4 meses o duplicará?
Dados:
Capital = C
J =C
t = 4 meses
i = ?
lembrando:
J = C.i.t
Substituindo:
J = C.i.t
C = C.i.4
C = 4.C.i
C/4.C = i
¼ = i
0,25 = 25% = i = 25% a.m.
EXERCICIOS DE FIXAÇÃO - JUROS SIMPLES
1) O juro produzido por um capital de 5.000,00 aplicado à taxa de
juros simples de 6% a.a. durante 2 anos é igual a:
a) 500,00
b) 1.200,00
c) 1.000,00
d) 800,00
e) 600,00
2) O juro de uma aplicação de 1.000,00 em 18 meses, se a taxa de
juros é de 42% a.a. é de:
a) 720,00
b) 420,00
c) 756,00
d) 630,00
e) 1.200,00
3) A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a., para que se obtenha 1.000,00 no fim de 4 anos é:
a) 320,00
b) 543,47
c) 238,09
d) 570,00
e) 757,58
4) Um capital aplicado a 5% ao mês a juro simples, triplicará em:
a) 3 anos
b) 80 meses
c) 40 meses
d) 12 meses
e) 50meses
5) Um principal de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros simples
de 2,2% a.m., atingindo, depois de certo período, um montante
equivalente ao volume de juros gerados por outra aplicação, também a juros simples, de R$ 12.000,00 a 5% a.m. durante 1 ano. O prazo de aplicação do primeiro principal foi de:
a) 10 meses
b) 20 meses
c) 2 anos
d) 1,5 ano
e) 30 meses
6) A taxa de juros simples relativa a uma aplicação de R$ 10.000,00 por um período de 10 meses, que gera um montante de R$ 15.000,00 é de:
a) 48% a.a.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 100% a.a.
e) 5% a.m.
7) Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista ou 20% do
valor à vista, como entrada, e mais um pagamento de R$ 2.760,00
após 6 meses. A taxa de juros cobrada é de:
a) 30% a.a.
b) 1% a.d.
c) 3% a.m.
d) 360% a.a.
e) 12% a.a.
8) As taxas de juros ao ano, proporcionais às taxas25% a.t.; 18%
a.b.; 30% a.q. e 15% a.m., são, respectivamente:
a) 100%; 108%; 90%; 180%
b) 100%; 180%; 90%; 108%
c) 75%; 26%; 120%; 150%
d) 75%; 150%; 120%; 26%
e) 100%; 150%; 120%; 108%
9) As taxas de juros bimestrais equivalentes às taxas de 120% a.a.;
150% a.s.; 86% a.q. e 90% a.t. são respectivamente:
a) 40%; 100%; 86%; 120%
b) 60%; 43%; 50%; 20%
c) 20%; 50%; 43%; 60%
d) 120%; 86%; 100%; 40%
e) 20%; 43%; 50%; 60%
10) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 3.000,00. Que taxa equivalente
semestral recebeu?
a) 10%
b) 40%
c) 6,6%
d) 8,4%
e) 12%
11) Os juros simples comercial e exato das propostas abaixo
relacionadas são, respectivamente:
R$ 800,00 a 20% a.a., por 90 dias
R$ 1.100,00 a 27% a.a., por 135 dias
R$ 2.800,00 a 30% a.a., por 222 dias
a) 111,38 e 109,85; 518,00 e 510,90; 40,00 e 39,45
b) 40,00 e 39,45; 111,38 e 109,85; 518,00 e 519,90
c) 39,45 e 40,00; 109,85 e 111,38; 510,90 e 518,00
d) 40,00 e 39,95; 109,85 e 111,38; 518,00 e 510,90
e) 40,00 e 111,38; 39,45 e 109,85; 510,90 e 518,00
12) O juro simples exato do capital de R$ 33.000,00,colocado à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 1945 a 28 de maio do mesmo ano, foi de:
a) R$ 664,52
b) R$ 660,00
c) R$ 680,00
d) R$ 658,19
e) R$ 623,40
13) A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa dejuros de 42%
a.a., pelo prazo de 100 dias. O juro dessa aplicação se for
considerado juro comercial e juro exato, será, em R$,
respectivamente:
a) 175,00 e 172,12
b) 172,12 e 175,00
c) 175,00 e 172,60
d) 172,60 e 175,00
e) 170,00 e 175,00
14) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a. em 12 de fevereiro de 1996. Se o resgate for efetuado em 03 de maio de 1996, o juro comercial recebido pelo aplicador foi, em R$, de:
a) 138,89
b) 138,69
c) 140,26
d) 140,62
e) 142,60
15) Certa pessoa obteve um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 12% a.a. Algum tempo depois, tendo encontrado quem lhe emprestasse R$ 150.000,00 à taxa de juros simples de 11% a.a., liquidou a dívida inicial e, na mesma data, contraiu novo débito.
Dezoito meses depois de ter contraído o primeiro empréstimo,
saldou sua obrigação e verificou ter pago um total de R$ 22.500,00
de juros. Os prazos do primeiro e do segundo empréstimo são,
respectivamente:
a) 12 meses e 6 meses
b) 18 meses e 6 meses
c) 6 meses e 12 meses
d) 6 meses e 18 meses
e) 12 meses e 18 meses
16) João fez um depósito a prazo fixo por 2 anos. Decorrido o prazo, o montante, que era de R$ 112.000,00, foi reaplicado em mais um ano a uma taxa de juros 15% superior à primeira. Sendo o montante de R$ 137.760,00 e o regime de capitalização juros simples, o capital inicial era, em R$:
a) 137.760,00
b) 156.800,00
c) 80.000,00
d) 96.000,00
e) 102.000,00
17) O prazo em que um capital colocado à taxa de 5% a.a., rende um juro comercial igual a 1/50 de seu valor é igual a:
a) 144 dias
b) 146 dias
c) 150 dias
d) 90 dias
e) 80 dias
18) Uma pessoa sacou R$ 24.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito no final de 3 meses e pagar ao todo R$ 24.360,00.
A taxa de juro cobrada pelo uso daquele capital foide:
a) 4,06% a.a.
b) 6% a.a.
c) 4,5% a.a.
d) 8% a.a.
e) 1% a.m.
19) Um agricultor, possuidor de um estoque de 5.000 sacas de café,
na esperança de uma alta do produto, rejeita uma oferta de compra
desse estoque ao preço de R$ 80,00 a saca. Dois meses mais tarde,
forçado pelas circunstâncias, vende o estoque ao preço de R$ 70,00 a saca. Sabendo-se que a taxa corrente de juro é de 6% a.a., o prejuízo real do agricultor, em R$, foi de:
a) 350.000,00
b) 50.000,00
c) 54.000,00
d) 38.000,00
e) 404.000,00
20) A taxa de juros anual a que de ser colocado um capital para que produza 1/60 de seu valor em 4 meses é de:
a) 7,2%
b) 8%
c) 4%
d) 6%
e) 5%
21) Um negociante obteve R$ 100.000,00 de empréstimo à taxa de
7% a.a. Alguns meses depois, tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importância a 6% a.a., assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que pagou, ao todo, R$ 6.250,00 de juros.O prazo do primeiro empréstimo foi de?
a) 9 meses
b) 6 meses
c) 11 meses
d) 3 meses
e) 7 meses
22) Uma pessoa deposita num banco um capital que, no fim de 3
meses (na época do encerramento das contas), se eleva, juntamente com o juro produzido, a R$ 18.180,00. Este montante, rendendo juro à mesma taxa e na mesma conta, produz, no fim de 6 meses, outro montante de R$ 18.543,60. O capital inicial foi de, em R$:
a) 18.000,00
b) 16.000,00
c) 15.940,00
d) 17.820,00
e) 17.630,00
23) A taxa de juro do banco foi de:
a) 48% a.a.
b) 3% a.m.
c) 8% a.a.
d) 10% a.a.
e) 4% a.a.
24) O prazo para que o montante produzido por um capital de R$
1.920,00, aplicado a 25% a.a., se iguale a um outro montante
produzido por um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a.,
admitindo-se que os dois capitais sejam investidos namesma data, é
de:
a) 4 meses
b) 6 anos
c) 6 meses
d) 2 anos
e) 4 anos
25) Emprestei R$ 55.000,00, durante 120 dias, e recebi juros de R$
550,00. A taxa mensal aplicada foi de:
a) 2,5% a.m.
b) 25,25% a.m.
c) 2,25% a.m.
d) 0,25% a.m.
e) 4% a.m.
26) Uma pessoa deposita R$ 30.000,00 num banco que paga 4%
a.a. de juros, e receber, ao fim de certo tempo, juros iguais a 1/6 do
capital. O prazo de aplicação desse dinheiro foi de:
a) 60 meses
b) 80 meses
c) 50 meses
d) 4 anos
e) 2100 dias
27) Uma pessoa emprestou certo capital a 6% a.a. Depois de um ano
e meio retirou o capital e os juros e aplicou novamente o total, desta vez a 8% a.a. Sabendo que no fim de 2 anos e meio, após a segunda aplicação, veio a retirar o montante de R$ 26.160,00. O capital emprestado no início foi de, em R$:
a) 20.000,00
b) 21.800,00
c) 23.600,00
d) 19.000,00
e) 19.630,00
28) O capital que, aplicado a uma taxa de 3/4% a.m., produz R$
10,80 de juros anuais é, em R$:
a) 144,00
b) 97,20
c) 110,00
d) 90,00
e) 120,00
29) Um capital aumentado de seus juros durante 15 meses se elevou a R$ 264,00. Esse mesmo capital diminuído de seus juros durante 10 meses ficou reduzido a R$ 224,00. A taxa empregada foi de:
a) 18% a.a.
b) 8% a.a.
c) 1% a.m.
d) 0,5% a.m.
e) 0,01% a.d.
30) Certa pessoa emprega metade de seu capital jurossimples,
durante 2 anos, à taxa de 5% a.a. e metade durante 3anos, à taxa de 8% a.a., obtendo, assim, o rendimento total de R$ 2.040,00. O seu capital é de, em R$:
a) 6.000,00
b) 12.000,00
c) 14.000,00
d) 7.000,00
e) 12.040,00
31) A taxa mensal de um capital igual R$ 4.200,00, aplicado por 480 dias e que rendeu R$ 1.232,00 de juros é de:
a) 2,08%
b) 8.08%
c) 1,83%
d) 3,68%
e) 2,44%
32) (TTN/89) Os juros simples que um capital de 10.000,00 rende
em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a. o valor de:
a) 700,00
b) 1.000,00
c) 1.600,00
d) 600,00
e) 900,00
33) (TTN/89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12%
a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é de:
a) 1.100,00
b) 1.000,00
c) 1.392,00
d) 1.200,00
e) 1.399,68
34) (TTN/92) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se
obtenha os mesmos juros simples que os produzidos por Cr$
400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?
a) Cr$ 420.000,00
b) Cr$ 450.000,00
c) Cr$ 480.000,00
d) Cr$ 520.000,00
e) Cr$ 500.000,00
Gabarito:
1E – 2D – 3E – 4C – 5B – 6E – 7A – 8A – 9C – 10A – 11B – 12B –
13C – 14D – 15C -16C – 17A – 18B – 19C – 20E – 21D – 22A – 23E –
24E – 25D – 26C – 27A – 28E – 29B – 30B – 31C – 32E– 33D –
34E
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